插值多项式存在唯一性

插值多项式存在唯一性定理在次数不超过n的多项式集合nH中，满足条件jjnyxL)(（j=0,1…,n）.的插值多项式)(xLnnH是存唯一的.证明公式)()()()(1'10knknnkknxxxxyxL已经证明了插值多项式的存在性，下面用反证法证明唯一性.假定还有)(xPnH使得)(ixP=)(ixf,i=0,1…,n成了.于是有0)()(iinxPxL对0i,1,…,n成立，它表明多项式nnHxPxL)()(有1n个零点,,10xx…nx,这与n个零点的代数基本定理矛盾，故只能)()(xLxPn.证毕.龙格现象一般来说,节点个数越多,插值函数和被插值函数就有越多的地方相等.但是随着插值节点个数的增加,两个插值节点之间插值函数并不一定能够很好地逼近被插值函数.再次,从舍入误差看,高次插值由于计算量大,可能会产生更严重的误差积累,所以,稳定性得不到保证.这就是Runge现象.解决Runge现象的方法是采用分段低次多项式插值：有分段线性插值和分段三次Hermite插值.在每个小区间采用低次插值,则可避免Runge现象.龙格函数MATLAB程序fori=3:2:11x=linspace(-1,1,i);y=1./(1+25*x.^2);p=polyfit(x,y,i-1);xx=-1:0.01:1;yy=polyval(p,xx);plot(xx,yy,'b');holdon;gridon;end;plot(x,1./(1+25*x.^2),'r');插值方法比较Lagrange插值使用基函数法进行构造，其插值函数在插值区间的解析表达式关于节点对称、光滑性好，但插值函数没有继承性，增加节点将使前期计算作废，导致运算量增加。Lagrange插值方法构造简单，易于理解多用于理论分析。对lagrange插值函数进行改造，使其具有承袭性，可以得到逐次线性插值的Aitken算法和Neville算法。这两个算法直接用给定的离散数据而不需要用基函数来表示多项式，公式结构简单，但计算量大，利于计算机并行计算，是计算快捷。Newton插值使用基函数构造，其系数可以使用差商表计算得到，具有继袭性，且计算量远小于逐次线性插值算法，适用于手工计算。如果节点等距的情况下，可用差分构造Newton插值，进一步简化系数计算。如果插值多项式节点处函数值相等，而且要求其导数值也相等，则可用基函数法构成带导数的Hermite插值。上面的各算法是整个区间上做插值，若提高插值多项式次数，能提高函数逼近的精度，-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1.5-1-0.500.511.52但次数越高计算量越大，积累误差也越大，当某插值节点处的值偏小时，可能引起整个区间上函数值的巨大变化，这种高次插值的不准确性就是Runge现象。为了避免Runge现象，可以采用考虑把原插值区间分成小区间，在每个小区间以低次插值多项式去逼近原函数，且要求分段函数在每个观测点满足)(iixfy.分段线性插值和分段三次Hermite插值在插值区间一致收敛，能够很好的避免Runge现象，但只能保证小区间里曲线在节点上的连续，而不能保证整条曲线在这些节点上的充分光滑性。三次样条插值具有连续的二阶导数，故可以满足整条曲线连续，在工程技术中应用最广泛。分段三次埃尔米特插值比分段线性插值效果明显改善，但这种插值要求给出节点上的导数值，所要提供的信息太多，其光滑度也不高（只有一阶导数连续），改进这种以克服其缺点就导致三次样条插值的提出.三次样条插值上面讨论的分段插值函数都有一致收敛性，但光滑性比较差，对于像告诉飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数.早起工程师制图是，把富有弹性的细长木条（所谓样条）用压铁固定在样点上，在其他地方让它自由的弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线.样条曲线实际上有分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从而数学上加以概括就得到数学样条这一概念.高次插值的病态性质我们根据区间ba,上给出的节点做插值多项式)(xLn近似)(xf，一般我们认为)(xLn的次数n越逼近)(xf的精度越好，但实际上并非如此.这是因为对任意的插值节点，当n时，)(xLn不一定收敛到)(xf.拉格朗日插值定义：若n次多项式)(xlj（j=0,1,2…,n）在n+1个节点10xx…nx上满足条件,,0,,1)(jkjkxlkjkj,=0,1,…,n,(1.1)就称这n-1个n次多项式)(0xl，)(1xl，…，)(xln为节点0x，1x，…，nx上的n次插值基函数.n次插值基函数为)())(()()())(()()(110110nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxl显然它满足条件（1.1）.于是，满足条件ijnyxL)(（j=0，1，…，n）.的插值多项式)(xLn可以表示为nkkkxlyxL0n)(）（.(1.2)有)(xlk的定义，知jnkjkkjnyxlyxL0)()(（j=0，1，…，n）.形如（1.2）的插值多项式)(xLn被称为拉格朗日（Lagrange）插值多项式.若引入记号)())(()(101nnxxxxxxx，容易求得)())(()()(110'1nkkkkkkknxxxxxxxxx.于是（1.2）可以改写为)()()()('110knknnkknxxxxyxL.(1.3)当n=1时)()(111xlyxlyxLkkkk）（.显然，)(xlk及)(1xlk也是线性插值多项式，在节点kx，1kx上满足条件1)(kkxl，0)(1kkxl；0)(1kkxl，)(11kkxl=1.我们称函数)(xlk及)(1xlk为线性插值基函数.当n=2时这是一个二次函数，又名二次插值或抛物插值.yxL)(2)()()()(11k112xlyxlyxlyxLkkkkk代入线性插值基函数))(())(()(11111kkkkkkkxxxxxxxxxl))(())(()(1111kkkkkkkxxxxxxxxxl))(())(()(11111kkkkkkkxxxxxxxxxl.有))(())(())(())(())(())(()(111111111111112kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL