改进节点法及其应用

改进节点法及其应用改进节点法及其应用ModifiedNodalApproachandItsApplicationWANGXiao-huaABSTRACT:Thispaperintroducesthefundamentalconceptsofmodifiednodalapproach(MNA)andthemethodtowritenodeequations,.ItanalysestheapplicationofMNAinwritingmultiporthybridmatrix,analysisofpassiveandactivefilter,obtainingstateequations,analyzingmultiphasecouplednetworks,timedomainanalysisoftransformer,establishinggeneralizedstateequationsandmultipleportequationsandimprovingthereliabilityofnumericalcircuitsimulation.Inaddition,inordertodecreasetheorderofequations,thispaperdevelopstwonewmethods.calledthecompactmodifiednodeapproachandtwo-figuremodifiednodalapproachKEYWORDS:modifiednodalapproachapplicationcompactmodifiednodeapproachtwo-figuremodifiednodalapproach摘要：本文介绍了改进节点法(MNA)基本概念及其节点方程的列写方法，简单分析了改进节点法在列写多端口混合矩阵、分析无源和有源滤波器、获取状态方程、分析多相耦合网络、对变压器进行时域分析、建立广义状态方程和多端口方程及提高数字电路仿真的可靠性等方面的应用。另外，本文针对改进节点存在冗余变量等不足提出了紧凑改进节点法及双图改进节点法关键词：改进节点法应用紧凑改进节点法双图改进节点法1.改进节点法概述1.1常规节点分析法电路分析和设计的首要任务是将一个实际的电路用一整套数学方程来描述,建立电路方程的方法很多,节点电压法是分析、求解电路的最方便最快捷的方法。所谓常规节点分析法就是以节点电压为电路变量建立电路方程进行分析计算的一种方法。它以(n-1)个独立节点的节点电压为变量,利用电路的拓扑结构和支路约束方程,来建立电路的节点电压方程，由节点电压方程求得节点电压后，便可根据KVL求出电路中各支路电压，进而根据各支路VAR求出各支路电流[1]。常规节点法与网孔电流法、支路法、表格法等相比具有显著的优越性,主要表现在它所涉及的变量少、方程数少,因而被广泛采用。但常规节点电压法有其局限性,常规节点分析只适用于支路具有压控型特性方程的电路，对于具有流控型特性方程支路的电路，节点法无法进行分析，这就妨碍了节点法在非线性网络分析中的应用。为了克服这一缺点，人们提出了改进节点分析法（ModifiedNodalApproach）[2]。1.2改进节点法改进节点分析法是在节点分析的基础上发展起来的，除了仍以节点电压为变量外，还引入了流控型支路的电流和输出电流作为附加变量，这一方法已成为分析电路的第二种一般分析方法。改进节点法的要点是:增加零阻抗支路的支路电流作为待求变量,相应地增添困难支路的支路电压用节点电压表示的补充方程。具体操作时,可以把受控电压源当独立电压源处理。相比较而言,改进节点电压法比常规节点电压法具有更强的处理能力,尤其是当电路结构比较改进节点法及其应用复杂、方程组比较庞大时,借助专用软件:如matlab或pspice等来求解电路时,改进节点电压法的优点会显得更加突出。2.改进节点方程2.1改进节点方程简介假设待分析的电路中有n个节点、b条支路，其中有bv条理想电压源支路，包括电流源控制支路。那么，取n-1个非参考节点电压Vn和bv个电压定义支路的电流Iv作为未知的电路变量，这样列写出来的方程称为改进的节点电压方程，它保留了方程阶数低的优点，而且克服了基本节点法不能直接处理理想电压源支路、阻抗为零支路以及流控器件的缺点。改进节点电压方程可由直观法写出，它由两部分组成，一部分是以节点电压为变量列写所有独立节点的电压方程，每遇到一个流控型支路就在方程中引入对应的电流作为附加变量；另一部分方程是由节点电压和附加电流表示的流控型支路的方程和输出支路方程。改进节点电压方程一般比稀疏表格方程少，但没有表格方程概念清晰。2.2改进节点方程的建立建立改进的节点电压方程的基本思想是将网络中的元件分为三类：第一类：用导纳描述的元件。这些元件只需选节点电位作为方程变量。第二类：不用导纳描述的元件，如独立电压源、受控电压源。此外，还包括那些需要支路电流作为输出变量的元件，如电感、互感元件等。第三类：独立电流源。这三类元件的特性方程分别为：111YUI（1）22222+YUZIE（2）3sII（3）同样，将A表示的KCL和KVL也分为相应的三部分：1123230IAIAAAII（4）1122330TTnTUAUAUUA（5）推导得：311222222TnsTUAIAYAAIEYAZ(6)为便于描述，将上述方程改写为vnVYBJICDE(7)这就是把理想电压源支路当作电流源Iv写出节点分析方程，再以Vn和Iv为变量写改进节点法及其应用出电压定义支路的支路关系便得到的MNA方程。下面讨论各种元件对上述方程的贡献。假设独立电压源所在支路节点为ij，其元件特性方程为：jijiEEUUEIIIIEI为独立电压源所在支路的电流，与电压满足关联参考方向。则上式可改写为jiEEijIIIIUUE若写成矩阵，则为：j001001110iijEUIUIIE其中，iI和jI分别为该理想电压源作为电流源看待时，附加到nnnYUJ的部分，即2nnnvYUJAI，所以11B，11C,0D,对比即可知，2BA是理想电压源支路对应的节点支路关联矩阵，22TCYA,当该支路为理想电压源时，支路中的串联电阻为零，也即导纳2Y为零，因此有TCB。将上述矩阵写成表的形式。如此类推，可得其它典型元件对应的表单值。根据支路方程，线性电阻电路中常用的八种典型元件支路对矩阵Y、B、V、D和向量J、E的贡献如表1所示。根据表1便可以很容易的由算法程序根据输入的电路网络模型列写出矩阵Y、B、V、D和向量J、E，即MNA方程，完成线性电路方程的建立。表1：八种典型元件支路对矩阵Y、B、V、D和向量J、E的贡献表元件支路方程对矩阵Y、B、V、D和向量J、E的贡献改进节点法及其应用3.改进节点法的应用3.1改进节点法在列写多端口混合矩阵中的应用[4]电导Gijij=-IGUU+=+=+=+=iijjijjiYGYGYGYG独立电压源VS（第k条电压定义支路）ijvij=-sIjUUE=+1111ikjkkikjksBBBBEE独立电流源CSijs=IIisjsJIJI电压控制电流源VCCSk1ij=-IValUU+=-=-=+=kikjliljYValYValYValYVal电压控制电压源VCVS（第k条电压定义支路）ijvij1=--0mIjUUValUU=+1111ikjkkikjklkmBBCCCValCVal电流控制电压源CCVS(第k1、k2条电压定义支路)ij=vkIValj=ikjkBValBVal电流控制电压源CCVS（第k1,k2条电压定义支路）ijvk2ijvk1=-0IjUUValj222221=+1111ikjkkikjkkBBCCCVal理想运算放大器IOPAMPij1-00kUUj2222=+1111lkmkkikjBBCC非理想运算放大器OPAMP电压控制电压源VCVSijvij1=--0mIjUUValUU=+1111ikjkkikjklkmBBCCCValCVal改进节点法及其应用n端口混合矩阵经常用于解决许多实际问题，比如说处理非线性网络，列写状态方程和列写诊断方程等等。用混合矩阵来描述多口网络的一般形式如下：aabbivHKuvi其中矩阵K只有当多端口网络内有独立源时才出现，H为混合矩阵。目前得到混合矩阵一般基于图论，会产生大量的方程，与此相比，利用改进节点法获取混合矩阵的主要优势在于减少了大量的方程并且网络的拓扑矩阵独立。以线性电路为例，设电路有p个端口，n个节点，b条支路且其中m条支路为非压控支路，则利用MNA解决该问题需要m+n个方程，与2b个方程相比较要少得多。而且利用添加支路法我们可以很直接的得到电路的MNA方程。举例来说，假设一个多口网络的所有端口都以非口器终止，则矩阵形式MNA方程为：rvYBvJMiCDiE经过一系列矩阵变换，我们得到：pspyIFSx，其中I为单位阵。对比可得apbiyv,apbvxi,FH,sSKu我们可以比较容易的得到混合矩阵H。综上，利用MNA我们可以比较简单明了的得到多端口网络的混合矩阵，而且这种方法也适用于计算机编程使用。3.2利用改进节点电压分析无源和有源滤波器[5]滤波器是一种信号处理器，分为模拟滤波器和数字滤波器。模拟滤波器用来处理模拟信号或者连续时间信号，数字滤波器用来处理离散的时间信号或者数字信号。模拟滤波器又可以分为无源滤波器和有源滤波器。无源滤波器是谐波抑制的传统方法，采用电力电容器和电抗器等无源器件适当组合构成的无源滤波器与需治理的非线性负载并联，为谐波形成一个低阻通路的同时，在基波下，也为负载提供所需的无功功率，这种方法在滤除谐波的同时也能补偿无功功率。由于采用的基本原件是电容和电抗，因此成本低，技术成熟，结构比较简单。有源电力滤波器是一种可以动态滤波谐波、补偿无功功率的新型电力电子装置，它能对大小和频率都变化的谐波以及变化的无功进行补偿，其应用可以克服无源滤波器等传统谐波抑制和无功补偿的缺点。滤波器根据频响一般设计成四种，分别为巴特沃斯滤波器，椭圆滤波器，切比雪夫滤波器和贝塞尔—汤姆森滤波器，本文我们以拥有巴特沃斯特性的带通无源滤波电路和低通有源滤波电路为例。RLC串联带通无源滤波电路如图1：改进节点法及其应用AC图1：RLC串联带通无源滤波电路通过实例利用MNA建立RLC串联带通无源滤波电路的电路方程，通过仿真可得其频率增益特性和频率输出特性,如图2：图2：RLC串联带通无源滤波电路仿真频率增益特性和频率输出特性二阶巴特沃斯低通有源滤波电路如图3：AC图3：二阶巴特沃斯低通有源滤波电路通过实例利用MNA建立二阶巴特沃斯低通有源滤波电路的电路方程，通过仿真可得其频率增益特性和频率输出特性，如图4：CLRVSVSVO改进节点法及其应用图4：二阶巴特沃斯低通有源滤波电路仿真得频率增益特性和频率输出特性3.3利用改进节点法获取状态方程[6]以前所了解的获取状态和输出方程的方法是图论法、混合矩阵法或多端口法，这些方法包含大量的矩阵加法、乘法和矩阵变换，当状态变量是电容电压和电感电流时就会有一定的局限性。当利用改进节点法时多数变量为节点电压，电路方程形式如：00000000sGsCXsBWsWYDX其中0G和0C是两个nn阶方阵，0B为nr阶矩阵（其中r为输入量个数），0W为包含初始条件的相量，0D为pn阶矩阵（