杠杆平衡原理的一点数学思考

杠杆平衡原理的一点数学思考沂州实验学校李守峰2013.5.7如图，AB为一杠杆，O为支点，作用在A、B两端的力分别为F1，F2。问：若杠杆处于平衡状态，求F1、F2满足的条件大家知道：当力矩相等时，杠杆平衡，这是教材中的结论。这一结论仅仅是保证了杠杆能够维持平衡，这种平衡是建立在杠杆与支点之间存在摩擦力的情况下（静摩擦力必须满足一定条件之下）才能出现的一种结果。假如平行的杠杆与支点之间无摩擦力，只有支持力（这种条件不妨称为数学平衡条件），那么，都能够满足杠杆的平衡式的条件时，杠杆还能处于平衡状态吗？（若能平衡，则称这种状态为杠杆的数学平衡状态）显然不能，下面探究数学平衡状态的条件如上图，对任意的动力1F，阻力2F满足数学平衡状态的充要条件是杠杆不能平行滑动，杠杆不能转动。即杠杆受到的水平合力为零，同时满足杠杆的物理平衡条件1,2,1,2,0xxyyFFFAOFBO这里x表示与AB平行的方向，y表示与AB垂直的方向作11FDAB，垂足为1D，取AB的中点M，以M为圆心，1MD为半径作弧交直线AB与点2D，则2F在AB上的射影必为2D，也就是说，2F的中点必在过2D且垂直于AB的直线上；连结1OF，2OF由杠杆平衡的物理条件可知，必有三角形1AFO,2BFO的面积相等过O作AB的垂线OQ，作12,FPOPFQOQ则1AFOAOPSS，2FBOBOQSS所以AOPBOQSS在杠杆AB上取B关于O的对称点'B，连结'BQ则'BOQBOQSS所以'AOPBOQSS，连结',BPAQ由三角形面积的性质可知'BP∥AQ，而点A,'B,P由杠杆AB和1F唯一确定，所以点Q被A,'B,P唯一确定，因此，22FODOQ也为以确定。将上述过程逆推，即得2F应该满足的杠杆数学哦平衡条件。