极大似然估计练习题

关于矩估计与极大似然估计的典型例题例1，设总体X具有分布律22)1()1(2321~X其中10为未知参数。已经取得了样本值1,2,1321xxx，试求参数的矩估计与极大似然估计。解：（i）求矩估计量，列矩方程（只有一个未知参数）XXE23)1(3)1(22)(22得6523432x32X3矩（ii）求极大似然估计，写出似然函数，即样本出现的概率),,()(332211xXxXxXPL)1,2,1(321XXXP)1()2()1(321XPXPXP)1(2)1(2522对数似然)1ln(ln52ln)(lnL0115)(lndLd得极大似然估计为65ˆ极例2，某种电子元件的寿命（以h记）X服从双参数指数分布，其概率密度为其他,0],/)(exp[1)(xxxf其中0，均为未知参数，自一批这种零件中随机抽取n件进行寿命试验，设它们的失效时间分别为.,,2,1nxxx（1）求，的最大似然估计量；（2）求，的矩估计量。解：（1）似然函数，记样本的联合概率密度为niinxfxxxfL12,1)();,,()(，，其他,0,,,]/)(exp[12,11nniixxxx)1()1(1,0),/)(exp(1xxnxniin在求极大似然估计时，0)(，L肯定不是最大值的似然函数值，不考虑这部分，只考虑另一部分。取另一部分的对数似然函数)1(1,/)(ln),(lnxnxnLnii0),(ln0),(ln21nLnxnLnii可知关于，的驻点不存在，但能判定单调性由0),(lnnL知,,/)(ln),(ln)1(1xnxnLnii关于是增函数，故)1(ˆx极将之代入到0),(ln21nxnLnii中得)1(ˆxx极则)1(ˆx极，)1(ˆxx极一定能使得似然函数达到最大，故，的极大似然估计为)1()1(ˆˆxxx极极（2）列矩方程组（两个未知参数）niiXndxxxXEXdxxxXE1222221)(]/)(exp[1)(]/)(exp[1)(解出niiniiXXnXXXn1212)(1ˆ)(1ˆ矩矩例3，设总体],0[~UX，其中0为未知参数，nXXX,,,21为来自总体X的一组简单随机样本，nxxx,,,21为样本观察值，求未知参数的极大似然估计。解：似然函数，即样本的联合概率密度elsexxxxfxxxfLnnniin,0,,,0,1)();,,,()(211210)(L肯定不是最大值，考虑另一部分的最大值，取对数似然)(,ln)(lnnxnL0)(lnndLd知ln)(lnnL在)(nx内是单调递减的，故取)(nx能使得似然函数达到最大，则的极大似然估计值为)(ˆnx极，极大似然估计量为)(ˆnX极