构造法在求解微分方程中的应用

构造法在求解微分方程中的应用刘华（第二炮兵工程大学，710025）摘要：构造法是一种常见的化归策略，在高等数学中有着重要的应用，本文将介绍构造法在不同类型微分方程求解中的应用。关键词：构造法微分方程构造法是一种常用的数学方法，它指的是根据所要解决问题的具体特点构造出特定的数学形式，达到化简、转化和桥梁的作用，进而能够方便地解决问题。历史上不少数学家都曾经运用该方法，解决了数学难题，比如柯西、欧拉、费马、拉格朗日等。这种方法体现了思维的转换，有利于培养创新意识及创新能力。构造法在高等数学中有着普遍的应用，比如通过构造函数证明等式、不等式，证明微分中值定理，通过构造级数求极限，通过构造数列、积分等解决相应问题。这种方法在微分方程求解中的应用尤为突出，从一阶线性微分方程到二阶（高阶）常系数齐次线性微分方程，再到二阶（高阶）常系数非齐次线性微分方程，无不体现出构造法的便利之处。下面介绍构造法在求解微分方程中的应用。一、构造法在不同类型微分方程求解中的应用1．()()dyPxyQxdx通过对比一阶线性齐次微分方程和非齐次微分方程的特点，找出其内在联系，根据一阶线性齐次微分方程的通解()()PxdxyxCe，构造出一阶线性非齐次微分方程的通解()()()PxdxYxCxe，借鉴待定系数法的思想，容易求出一阶线性非齐次微分方程的通解为()()()[()]PxdxPxdxYxeQxedxC。2．'''0ypyqy通过对五类基本初等函数的逐一分析，考虑到指数函数求导的特点，构造该方程特解的形式为*()rxyxe，根据构造的这种形式，可以将微分方程的求解问题转化为一元二次方程20rprq（特征方程）求根的代数问题，根据方程根的不同形式可以进一步得到该微分方程的通解。在特征方程有二等实根的情况下，进一步利用构造法构造出另一与1()rxyxe线性无关的特解2()()rxyxuxe，可求得这一特解为2()rxyxxe。上述构造法的运用可以推广到高阶齐次线性微分方程。3．'''()xmypyqyPxe（其中()mPx为m次多项式函数）根据该微分方程右端自由项的特点，可以构造出特解形式为*()()xmyxQxe，将其代入微分方程整理可得'''2()(2)()()()()mmmmQxpQxpqQxPx由此结果不难发现，当是特征方程20rprq的单根或二重根时，上式不可能成立，构造的特解形式将不再适合该微分方程的求解。究其原因是因为等式两端多项式函数的次数不等，于是调整后特解的形式为*()()(0,1,2)kxmyxxQxek当不是特征方程20rprq的根时，k取0，当是特征方程20rprq的单根时，k取1，当是特征方程20rprq的二重根时，k取2。借鉴待定系数法的思想可以求出()mQx，进而得到该微分方程的特解，利用相对应的齐次微分方程的通解，可以进一步地求得该微分方程的通解。特别地，当是特征方程20rprq的二重根时，可直接构造2()()mzxxQx，使得其二阶导数等于()mPx即可，这样以来可以更为简单方便地得到其特解*()()xyxzxe。当上述微分方程右端自由项()[()cos()sin]xlnfxePxxPxx时，其特解形式可以类似地构造为*(1)(2)()[()cos()sin](0,1)kxmmyxxeRxxRxxk当i不是特征方程20rprq的根时，k取0，当i是特征方程20rprq的单根时，k取1。二、典型例题分析例1．求微分方程xxyyy32e)1(96的特解。解法一：由于x3e中x的系数3是对应齐次方程特征方程的二重根.因而该方程特解的形式可构造为*223()()exyxxAxBxC将它代入方程左边求导，化简并和方程右边比较系数可得方程组1216021ABC于是，可求得其特解为2*231()e122xxyxx解法二：构造其特解xxzye)((22()()zxxAxBxC且)(xz满足2()1zxx.因此有22()12621zxAxBxCx.比较系数得112A，06B，12C，即121A，21C所以原方程的特解为2*231()e122xxyxx.例2．求微分方程xyy2sin的特解解法一：由于对应齐次方程的特征根为i,所以可构造该方程的特解为*()cos2sin2yxAxBx将上式代入原方程整理可得3cos23sin2sin2AxBxx比较等式两端可得3031AB求解方程组可得10,3AB，所以原方程的特解为1*()sin23yxx解法二：由于第一个方程右边只有正弦函数，左边不含一阶导数项，若y是正弦函数，则y也必是正弦函数.因此可以构造其特解为*()sin2yxAx将上式代入原方程可得3sin2sin2Axx比较上式两端，可得13A，于是原微分方程的特解为1*()sin23yxx构造法是一种富有探索性、技巧性和创造性的方法，在不断探索、发现、创造的基础上，往往可以构造出更为简洁、有效地形式，从而更便于解决问题。构造法的应用不仅能够巧妙、简便地解决问题，还能够激发创新思维，培养创新意识，提高创新能力。参考文献1.数学思想方法通论【M】，解思泽，赵树智，北京，科学出版社2.高等数学【M】，同济大学数学系，北京，高等教育出版社