教案第七章

第七章一阶电路7-1动态电路的概念动态电路：当电路中含有电感、电容时，描述电路的方程不再是代数方程，而是微分方程。将这种含有储能元件的电路称为动态电路。位图图像换路：图中S原来与a合在一起，电路中所有的电压、电流均不变，称这种状态为一种稳定状态。0t时，将S和b接通，电路的结构发生了变化。称这种电路的结构或元件参数的变化为换路。换路后：RuUics，t增加时cu增加i下降；当t时，scUu，0ci，电路中的所有电压、电流均不再变化，电路进入另一种稳定状态。过渡过程（动态过程）：动态电路从一种稳定状态向另一种稳定状态过渡的过程。7-2、动态电路的换路定则求解动态电路就是求解以电容电压或电感电流为变量的微分方程。求解这类微分方程要用待求量的初值，换路定则为我们确定待求量的初值提供了依据。电容：电容电压和电流为关联参考方向时，tuCicCdd，若电容电流为有限值，电压一定是时间的连续函数；电感：电感电压和电流为关联参考方向时，tiLuLddL，若电感电压为有限值，电流一定是时间的连续函数。设换路发生在0t时刻，换路前的瞬刻记为0，换路后的瞬刻记为0则对于电容有)0()0(CCuu对于电感有)0()0(LLii上述两式即是动态电路的换路定则。换路时电容电压、电感电流必须满足换路定则，至于其它的电压、电流由基尔霍夫确定。例1、电路在0t之前已经稳定，0t时将开关从a合向b，已知V101sU，V152sU，5R，求)0(Cu，)0(Cu，)0(Ci，)0(Ru。解：V10Cu，根据换路定则有V10)0(Cu。0t时的等效电路如图。由图可得A151015)0(Ci，V51015)0(Ru例2、电路如图，0t之前已经稳定。求)0(Li及)0(Lu。解：A21020)0(Li，A2)0()0(LLii，V20)0()0(LLiRu7-3、一阶电路的零输入响应一阶电路：含有一个储能元件的电路。零输入响应：外加激励为0，由储能元件初始能量所引起的响应。一、RC电路的零输入响应设0)0(Uu，则0)0(Uu，0t时：0ddtuRCuCC——Cu满足的微分方程，为奇次一阶常微分方程令ptCAue，则0eeptptRCApA，即01RCp——特征方程RCp1，于是tRCCAu1e由0)0(Uu得0UAtRCCUu10e令RC，具有时间的单位，称为RC电路的时间常数，则tCUu10e而-0dedtCCuUiCtR，-0etRCuRiU从上述电压、电流的表达式可见，它们都随时间按指数规律衰减，衰减的快慢和时间常数的大小有关，越小衰减越快。从理论上讲只有t趋于无限大时它们才衰减到零，但在工程中，当)5~4(t时就认为它们衰减到零了。例1、S在1处电路已经稳定。求0t时的)(ti。解、V4444210)0(cu又换路定则，得V4)0()0(ccuu位图图像2e4e4ttcu2-e4tcui二、一阶RL电路零输入响应00)0(IRUisL，由换路定则得0)0(IiL0t时：0ddRitiLLL，令ptLAie，则0eeptptALAp，0RLp，LRp，于是tLRLAie。由0)0(IiL得0IA，所以tLRLIie0令RL——RL电路的时间常数，则ttLIie0而ttLLRILRLItiLuee)(dd00例1、300kW发电机的励磁绕组如图所示。189.0R，H398.0L，V35U，电压表的量程为V50，k5VR。开关断开前i已经稳定，0t时开关断开。求：1、时间常数；2、)0(i及)(i；3、i和Vu；4、)0(Vu。解：A2.185189.035)0(RUi1、s1096.75000189.0398.05VRRL2、)0(i=A2.185)0(i，0)(i3、Ae2.18596.7105i，Ve1026.996.71055iRuVV4、V1026.9)0(5Vu7-4、一阶电路的零状态响应零状态响应:储能元件的初始储能为0，由电源激励所引起的响应。一、RC电路的零状态响应0)0(cu,0t时：sCCUtuRCudd——非奇次一阶常微分方程其通解为stcUAue由0)0(cu得sUA,所以stscUUue,tstscRURCCUtuCiee1ddc二、RL电路的零状态响应0)0(Li,0t时：sLLUtiLiRdd位图图像通解为tLRsLLLARUiiie由0)0(i得sUAR即)e1(tLRsLRUi，tLRstLRsLULRRULue)e(7-5一阶电路的全响应及三要素法一、一阶电路的全响应全响应：由储能元件的初始能量和外施激励共同作用产生的响应。设：0(0)(0)0CCuuU微分方程SCCUudtduRC方程的通解为etRCCsuUA由初始条件得0SAUU于是0e(0)tCSSuUUUt稳态解暂态解及0e(0)tCSduUUiCtdtR暂态解或0e(1e)(0)ttCsuUUt零输入零状态0ee(0)ttCsduUUiCtdtRR零输入零状态事实上对于任何电压、电流均有全响应=零输入响应+零状态响应二、三要素法0etCSSuUUU()[(0)()]etcccuuu0e()[(0)()]ettSUUiiiiR直流激励下()()[(0)()]etftfff（()f、(0)f、——三要素）例1、用三要素法求图示电路中的)(tiL和)(ti。(0)(0)2LLiiA，(0)(0)0sliIiAiL325)(，10()5A2is22422()3(23)e(35e)AttLit2()55eAtit例2、求图示电路中0t时的li和Lu。解：8(0)42Li，422212ocu111442iiiu，110equRi而(0)4li，(0)12(0)1210(4)52leqluRi12()1.210Li，()0lu0.10.0110于是100100()1.2(41.2)e1.25.2eAttLit100()52eVtLut7-6一阶电路的阶跃响应一、阶跃函数（1）单位阶跃函数00ε()10ttt（2）单位延时阶跃函数0000ε()1tttttt例、用含阶跃函数的式子表示图示电压波形。解：10ε()10ε(1)utt二、一阶电路的阶跃响应阶跃响应：电路在阶跃函数激励下产生的响应。初始条件00()()0CCutut0t时：SCCUudtduRC其通解为：etRCCSuUA由初始条件得:0etRCSAU于是00(1e)ε()ttRCCSuUtt0000eε()eε()ttttSSRCRCcUUiCttttRCR例、电路和激励如图，2R，1FC，求cu。解：20ε(1)20ε(5)utt20ε(1)t单独作用产生的响应为120(1e)ε(1)tcut20ε(5)t单独作用产生的响应为520(1e)ε(5)tcut20ε(1)20ε(5)utt作用时的响应为1520(1e)ε(1)20(1e)ε(5)ttcutt7-7一阶电路的冲激响应一、冲激函数单位脉冲函数：1/0p00,1tttA——A为p的面积单位冲激函数：000δ()limp01tttA冲激函数：00δ()0tKttAk——k叫冲激强度二、单位冲激函数与单位阶跃函数的关系00δ()dε()10ttttdε()δ()dttt三、一阶电路的冲激响应RC电路的冲激响应0t时δ()0it，所以(0)(0)cu；0t时()0it，零输入响，所以(0)eε()tccuut而dδ()dCCiuuCttR两端积分得000000dddδ()ddCCiuuCtttttR上式第二项积分仅当Cu为冲激函数时才不为零，而Cu不可能为冲激函数于是1(0)(0)1(0)CCCCuuuC1(0)eε()eε()ttRCCCuuttCdd11[()]eε()eδ()eε()δ()ddttttcCuiCetttttttRCRC例、求图示RL电路的冲激响应。解：0t时δ()0ut，所以(0)(0)Li；0t时δ()0ut，零输入响，所以(0)eε()tLLiit而dδ()dLLuiLiRtt两端积分得000000dddδ()ddLLuiLtRitttt上式第二项积分仅当Li为冲激函数时才不为零，而Li不可能为冲激函数于是1(0)(0)1(0)LLLLiiiC1(0)eε()eε()RtRtLLLLiittLdd[eε()]eε()δ()ddRtRtLLLLiRuLtttttL四、冲激响应与阶跃响应的关系设δ()t引起的响应为h()t——单位冲激响应，ε()t引起的响应为s()t——单位阶跃响应。由于δ()dε()tt，dε()δ()dttt且描述一阶电路的微分方程为线性方程，所以ds()h()dttt，s()h()dtttt例、图示电路中，(0)0Li，16R，24R，100mHL，求冲激响应Li，Lu。设()10ε()Sutt，则(0)(0)0LLii35610)(Li241//21RRL阶跃响应为245()(1e)ε()3tstt冲激响应为24ds()()h()40eε()dtLtitttt而24d()()96eε()4δ()dtLLitutLttt