数值分析(颜庆津)第2章学习小结

第二章线性方程组的解法--------学习小结姓名班级学号一、本章学习体会通过对第二章的学习，学会了线性方程组的很多解法，主要学习了高斯消去法、直接三角分解法以及迭代法三种方法。（1）高斯消去法中，我们又学习了顺序高斯消去法以及列主元素高斯消去法。顺序高斯消去法可以得到方程组的精确解，但要求系数矩阵的主对角线元素不为零，而且该方法的数值稳定性没有保证。但列主元素高斯消去法因为方程顺序的调整，其有较好的数值稳定性。（2）直接三角分解法中，我们主要学习了Doolitte分解法与Crout分解法。其思想主要是：令系数矩阵A=UL，其中L为下三角矩阵，U是上三角矩阵，为求AX=b的解，则引进Ly=b,Ux=y两个方程，以求X得解向量。这种方法计算量较小，但是条件苛刻，且不具有数值稳定性。（3）迭代法（逐次逼近法）是从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是所求问题的精确解，只经过有限次运算得不到精确解。该方法要求迭代收敛，而且只经过有限次迭代，减少了运算次数，但是该方法无法得到方程组的精确解。Matlab上实现编程语言，我觉得这是我在本章遇到的最大难题。二、本章知识梳理第2章线性方程组的解法2.2直接三角分解法2.1Gauss消去法顺序Gauss消去法列主元素Gauss消去法顺序Gauss消去法的数值稳定性是没有保证的主元Gauss消元法有很好的数值稳定性Doolittle分解法Crout分解法选主元的Doolitte分解法三角分解法解带状线性方程组定理：若矩阵A非奇异，则存在置换矩阵Q，使得QA可做Doolitte分解，QA=LU，其中L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵。推论：矩阵A有唯一的能进行Crout分解的充分必要条件是：A的前n-1个顺序主子式不等于0定理：矩阵A=有唯一的能进行Doolittle(杜利特尔)分解的充分必要条件是：A的前n-1个顺序主子式不等于0定理：（1）A=是上半带宽为s下半带宽为r的带状矩阵（2）A的前n-1个顺序主子式均不为零，则A有唯一的Doolitte分解A=LU，其中L是下半带宽为r的单位下三角矩阵，U是上半带宽为s的上三角矩阵。追赶法求解三对角线性方程组拟三角线性方程组的求解方法第2章线性方程组的解法2.3矩阵的条件数和病态线性方程组2.4迭代法矩阵条件数定义性质病态方程组的求解问题病态线性方程组的判别病态线性方程组的求解迭代法收敛条件1.Jacobi迭代2.Gauss-Seidel迭代3.逐次超松弛迭代法（SOR迭代）常用迭代法三、本章思考题Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代、逐次超松弛迭代法三种迭代方法，各有其优缺点以及适用范围，能否将三种方法有机结合，从而得到一个新的算法，使其适用范围和计算精度有所提升？思路：使用类似加权平均的方法将三种方法的计算公式结合，已达到预期目标。然而，该方法有一个难点，就是如何分配加权是的这种算法达到最好效果。四、本章测验题用列主元素高斯消去法求解线性方程组12321344571547116xxx解：列主元高斯消去法过程：45715213445715317(|)45715213402224711647116012631Ab主元消去45715457150126310126313171300022248主元消去得等价的线性方程组为：12345715012631130048xxx，解之得：7113(,,)662Tx