数值分析上机作业1-1

1数值计算方法上机题目11、实验1.病态问题实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。问题提出：考虑一个高次的代数多项式201)()20)...(2)(1()(kkxxxxxp（E1-1）显然该多项式的全部根为l，2，…，20，共计20个，且每个根都是单重的（也称为简单的）。现考虑该多项式方程的一个扰动0)(19xxp(E1-2)其中是一个非常小的数。这相当于是对（E1-1）中19x的系数作一个小的扰动。我们希望比较（E1-1）和（E1-2）根的差别，从而分析方程（E1-1）的解对扰动的敏感性。实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab函数：“roots”和“poly”，输入函数u＝roots（a）其中若变量a存储1n维的向量，则该函数的输出u为一个n维的向量。设a的元素依次为121,...,,naaa，则输出u的各分量是多项式方程0...1121nnnnaxaxaxa的全部根，而函数b=poly(v)的输出b是一个n＋1维变量，它是以n维变量v的各分量为根的多项式的系数。可见“roots”和“Poly”是两个互逆的运算函数.ve=zeros(1,21);ve(2)=ess;roots(poly(1:20))+ve)上述简单的Matlab程序便得到（E1-2）的全部根，程序中的“ess”即是（E1-2）中的。实验要求：（1）选择充分小的ess，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。如果扰动项的系数很小，我们自然感觉（E1-1）和(E1-2)的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？（2）将方程（E1-2）中的扰动项改成18x或其他形式，实验中又有怎样的现象出现？2实验步骤：（1）程序functiont_charpt1_1clcresult=inputdlg({'请输入扰动项:在[020]之间的整数:'},'charpt1_1',1,{'19'});Numb=str2num(char(result));if((Numb20)|(Numb0))errordlg('请输入正确的扰动项:[020]之间的整数!');return;endresult=inputdlg({'请输入(01)之间的扰动常数:'},'charpt1_1',1,{'0.00001'});ess=str2num(char(result));ve=zeros(1,21);ve(21-Numb)=ess;root=roots(poly(1:20)+ve);x0=real(root);y0=imag(root);plot(x0',y0','*');disp(['对扰动项',num2str(Numb),'加扰动',num2str(ess),'得到的全部根为:']);disp(num2str(root));二、实验结果分析ess分别为1e-6,1e-8.1e-10,1e-12.对扰动项19加扰动1e-006得到的全部根为:21.3025+1.56717i21.3025-1.56717i18.5028+3.6004i18.5028-3.6004i15.1651+3.76125i15.1651-3.76125i12.4866+2.88278i12.4866-2.88278i10.5225+1.71959i10.5225-1.71959i9.04485+0.594589i9.04485-0.594589i7.9489+0i7.00247+0i5.99995+0i5+0i4+0i3+0i2+0i1+0i对扰动项19加扰动1e-010得到的全部根为:19.9953+0i19.0323+0i17.8696+0i17.2186+0i15.4988+0.0211828i15.4988-0.0211828i13.7707+0i13.1598+0i11.9343+0i11.029+0i9.99073+0i9.00247+0i7.99952+0i7.00007+0i5.99999+0i5+0i4+0i3+0i2+0i1+0iess分别为1e-6,1e-8.1e-10,1e-12的图像如下：3从实验的图形中可以看出，当ess充分小时，方程E.1.1和方程E.1.2的解相差很小，当ess逐渐增大时，方程的解就出现了病态解，这些解都呈现复共轭性质。（2）将扰动项加到x18上后，ess=1e-009时方程的解都比较准确，没有出现复共轭现象。ess=1e-008时误差与x19(ess=1e-009)时相当，即扰动加到x18上比加到x19小一个数量级。对x8的扰动ess=1000时没有出现复共轭，误差很小；对x的扰动ess=10e10时没有出现复共轭，误差很小。因此，扰动作用到xn上时，n越小，扰动引起的误差越小。2、实验2。多项式插值的振荡现象，即插值的龙格（Runge）现象问题提出：考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然，拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高、自然关心插值多项式的次数增加时，)(xLn是否也更加靠近被逼近的函数。龙格给出的一个例子是极著名并富有启发性的。设区间]1,1[上函数22511)(xxf实验内容：考虑区间]1,1[的一个等距划分，分点为ninixi,...,2,1,0,21则拉格朗日插值多项式为niiinxlxxL02)(2511)(其中的)(xli，ni,...,2,1,0是n次拉格朗日插值基函数。实验要求：（l）选择不断增大的分点数目,...3,2n，画出原函数)(xf及插值多项式函数)(xLn在]1,1[上的图像，比较并分析实验结果。（2）选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数4xxgxxxharctan)(,1)(4重复上述的实验看其结果如何。（3）区间],[ba上切比雪夫点的定义为1,...,2,1,)1(2()12(cos22nknkababxk以121,...,,nxxx为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果。实验步骤：（1）试验程序：functiony=Lagrange(x0,y0,x);%Lagrange插值n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nif(j~=k)p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=s+p*y0(k);endy(i)=s;endfunctiont_charpt2promps={'请选择实验函数，若选f(x),请输入f,若选h(x),请输入h,若选g(x),请输入g:'};titles='charpt_2';result=inputdlg(promps,'charpt2',1,{'f'});Nb_f=char(result);if(Nb_f~='f'&Nb_f~='h'&Nb_f~='g')errordlg('实验函数选择错误！');return;endresult=inputdlg({'请输入插值结点数N:'},'charpt_2',1,{'10'});Nd=str2num(char(result));if(Nd1)errordlg('结点输入错误！');return;endswitchNb_f5case'f'f=inline('1./(1+25*x.^2)');a=-1;b=1;case'h'f=inline('x./(1+x.^4)');a=-5;b=5;case'g'f=inline('atan(x)');a=-5;b=5;endx0=linspace(a,b,Nd+1);y0=feval(f,x0);x=a:0.1:b;y=Lagrange(x0,y0,x);fplot(f,[ab],'co');holdon;plot(x,y,'b--');xlabel('x');ylabel('y=f(x)oandy=Ln(x)--');增大分点n=2，3，…时，拉格朗日插值函数曲线如图所示。n=3n=6n=7n=8从图中可以看出，随着n的增大，拉格朗日插值函数在x=0附近较好地逼近了原来的函数f(x)，但是却在两端x=-1和x=1处出现了很大的振荡现象。通过分析图形，可以看出，当n为奇数时，虽然有振荡，但振荡的幅度不算太大，n为偶数时，其振荡幅度变得很大。（2）将原来的f(x)换为其他函数如h(x)、g(x)，结果如图所示。其中h(x),g(x)均定义在[-5，5]区间上，h(x)=x/(1+x4)，g(x)=arctanx。6h(x),n=7h(x),n=8h(x),n=9h(x),n=10g(x),n=8g(x),n=9g(x),n=12g(x),n=13分析两个函数的插值图形，可以看出：随着n的增大，拉格朗日插值函数在x=0附近较好地逼近了原来的函数f(x)，但是却在两端x=-5和x=5处出现了很大的振荡现象。通过图形可以看出，当n为偶数时，虽然有振荡，但振荡的幅度不算太大，n为奇数时，其振荡幅度变得很大。原因和上面f(x)的插值类似，h(x)、g(x)本身是奇函数，如果n为偶数，那么Lagrange插值函数Ln(x)的最高次项xn-1是奇次幂，比较符合h(x)、g(x)本身是奇函数的性质；如果n为奇数，那么Lagrange插值函数Ln(x)的最高次项xn-1是偶次幂，与h(x)、g(x)本身是奇函数的性质相反，因此振荡可能更7剧烈。3、实验3。样条插值的收敛性问题提出：一般的多项式插值不能保证收敛性，即插值的节点多，效果不一定就好。对样条函数插值又如何呢？理论上证明样条插值的收敛性是比较困难的，也超出了本课程的内容。通过本实验可以验证这一理论结果。实验内容：请按一定的规则分别选择等距或者非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。考虑实验2.中的函数或选择其它你有兴趣的函数，可以用Matab的函数“spline”作此函数的三次样条插值。在较新版本的Matlab中，还提供有spline工具箱，你可以找到极丰富的样条工具，包括B-样条。实验要求：（1）随节点个数增加，比较被逼近函数和样条插值函数误差变化情况。分析所得结果并与拉格朗目多项式插值比较。（2）样条插值的思想最早产生于工业部门。作为工业应用的例子，考虑如下问题：某汽车制造商用三次样条插值设计车门的曲线，其中一段的数据如下：kx012345678910ky0.00.791.532.192.713.033.272.893.063.193.29'ky0.80.2实验步骤：（1）程序：functiont_charpt2promps={'请选择实验函数，若选f(x),请输入f,若选h(x),请输入h,若选g(x),请输入g:'};titles='charpt_2';result=inputdlg(promps,'charpt2',1,{'f'});Nb_f=char(result);if(Nb_f~='f'&Nb_f~='h'&Nb_f~='g')errordlg('实验函数选择错误！');return;endresult=inputdlg({'请输入插值结点数N:'},'charpt_2',1,{'10'});Nd=str2num(char(result));if(Nd1)errordlg('结点输入错误！');return;endswitchNb_fcase'f'f=inline('1./(1+25*x.^2)');a=-1;b=1;case'h'f=inline('x./(1+x.^