数值分析教学内容及复习提纲2010

全日制硕士生“数值分析”教学内容与基本要求（2014、12）一、教学重点内容及其要求（一）引论1、误差的基本概念理解截断误差、舍入误差、绝对（相对）误差和误差限、有效数字、算法的数值稳定性等基本概念。2、数值算法设计若干原则掌握数值计算中应遵循的几个原则：简化计算步骤以节省计算量（秦九韶算法），减少有效数字的损失（避免相近数相减），选择数值稳定的算法。（二）插值方法1、插值问题的提法理解插值问题的基本概念、插值多项式的存在唯一性。2、Lagrange插值熟悉Lagrange插值公式（线性插值、抛物插值、n次Lagrange插值），掌握其余项表达式（及各种插值余项表达式形式上的规律性）。3、Newton插值熟悉Newton插值公式，了解其余项公式，会利用均差表和均差的性质计算均差。4、Hermite插值掌握两点三次Hermite插值及其余项表达式，会利用承袭性方法构造非标准Hermite插值。5、分段线性插值知道Runge现象，了解分段插值的概念，掌握分段线性插值（分段表达式）。6、三次样条函数与三次样条插值概念了解三次样条函数与三次样条插值的定义。（三）曲线拟合与函数逼近1、正交多项式掌握函数正交和正交多项式的概念（函数内积、2-范数、权函数，正交函数序列，正交多项式），了解Legendre多项式（授课时，将其放在课高斯型数值积分这部分介绍）。2、曲线拟合的最小二乘法熟练掌握曲线拟合最小二乘法的原理和解法（只要求线性最小二乘拟合），会求超定方程组的最小二乘解（见教材P103）。3、连续函数的最佳平方逼近了解最佳平方逼近函数的概念，掌握最佳平方逼近多项式的求法（从法方程出发）。（四）数值微积分1、数值求积的基本思想、插值型求积公式与代数精度掌握插值型求积公式（系数表达式），理解代数精度概念，会利用代数精度构造求积公式。2、Newton-Cotes公式（等距节点插值型求积公式）掌握梯形公式和Simpson公式，了解其余项公式与代数精度的联系，了解系数之和的性质，掌握稳定性条件；理解复化求积方法的思想。3、Gauss型求积公式理解Gauss型求积公式的概念（最高代数精度、插值型、恒稳定），掌握构造Gauss型求积公式的方法（Gauss点和系数的求法），掌握其数值稳定性结论。4、基于Taylor公式的数值微分公式掌握常用的几个一阶差商公式（向前差商和向和差商）及二阶中心差商公式。（五）线性代数方程组的直接解法1、三角形方程组的解法熟练掌握三角形方程组解法（前推、回代公式）。2、Gauss消去法熟练掌握顺序Gauss消去法和列主元Gauss消去法的原理，并会应用之求解具体的方程组，理解选主元的优点。3、三角分解法掌握三角分解法的原理，并会用直接三角分解法求解具体的方程组。4、追赶法与平方根法掌握追赶法与平方根法的原理，并会应用之求解具体的方程组。5、向量和矩阵的范数、谱半径与条件数知道向量和矩阵范数的概念与基本性质，掌握常用的向量和矩阵范数的计算，掌握矩阵谱半径的定义与计算，掌握矩阵范数和谱半径的大小关系，会计算条件数，掌握条件数大小与方程组病态程度的关系，知道条件数不小于1。（六）线性代数方程组的迭代解法1、迭代法的基本思想理解迭代法的基本概念，掌握基本型迭代的公式。2、Jacobi迭代和G-S迭代熟悉Jacobi迭代与G-S迭代的公式及迭代矩阵。3、迭代法收敛性分析熟练掌握迭代法收敛性充要条件与收敛性充分条件、Jacobi迭代与G-S迭代的收敛性判定，知道收敛速度与迭代矩阵谱半径（范数）大小的关系。4、了解SOR法及其收敛性结论（七）方程求根1、二分法掌握二分法及其误差估计。2、不动点迭代法理解不动点迭代法，掌握迭代法的局部收敛条件与收敛阶的判定。3、Newton迭代法熟悉Newton迭代法及其收敛性结论，掌握Newton法的应用（如应用于代数方程等特殊方程）。（八）常微分方程数值解法1、数值解的概念理解数值解的概念，掌握初值问题数值解法的特点（步进式）。2、Euler方法、局部截断误差掌握Euler公式、隐式Euler公式和梯形公式，会推导其局部截断误差，并判断方法的阶；了解改进的Euler公式。3、Runge-Kutta方法的原理知道Runge-Kutta方法的原理，掌握经典4阶Runge-Kutta公式的特点（性质）。4、线性多步法的概念知道线性多步法的一般形式与构造途径。5、单步法的收敛性与稳定性掌握单步法的收敛性与稳定性的概念，会论证收敛性和推导绝对稳定的条件（限于模型方程形式，其中λ为负实数）。二、教材《应用数值分析》相关章节第1章：1.1--1.4节，1.5.1、1.5.2小节，1.6节，1.7节，1.8.1、1.8.2小节，1.9节；第2章：2.1--2.4节，2.5.1、2.5.2小节，2.6.1小节；第3章：3.1节，3.2节，3.3.2、3.3.3小节，3.5节；第4章：4.1--4.3节，4.4.1小节；第5章：5.1--5.4节，5.8.1小节；第6章：6.1--6.3节，6.4.1、6.4.2小节；第7章：7.1--7.3节，7.4.1、7.4.2、7.4.3小节；第9章：9.1节，9.2节，9.3.1、9.3.2小节，9.4节，9.5.1、9.5.2、9.5.3小节。三、课后复习思考题第1章：习题1.1(3)(4)、1.2、1.3、1.4、1.6、1.9(1)、1.15--1.18、1.21(1);第2章：习题2.1--2.3、2.6--2.11、2.13、2.15、2.26;第3章：习题3.1、3.3、3.6、3.7、3.9、3.13(1)、3.20、3.21(1);第4章：习题4.4--4.7、4.12、4.13、4.17、4.19;第5章：习题5.1、5.2、5.4--5.6、5.10、5.12、5.13、5.16(1)(2)、5.20、5.23;第6章：习题6.3、6.6、6.9--6.12、6.14、6.17、6.22;第7章：习题7.1、7.4、7.5、7.8、7.9、7.15--7.18;第9章：习题9.2、9.4、9.8、9.10、9.11、9.13、9.15、9.16、9.17(3)、9.18考试时间：2011年01月07日下午15:00-17:30答疑时间及地址：2011年01月05日晚上19:00-21:00，340501室(暂定)考试题型：一．选择、判断、填空题(10小题,每小题2分,共20分)二到八题为计算及证明题（每题10—12分，共80分），具体为二.插值三.拟合四.数值积分五.线性方程组直接法六.线性方程组迭代法七.非线性方程求解八.常微分方程数值求解