数值分析第2章习题

第二章非线性方程（组）的数值解法考题一、选择题(每题5分，共计20分)1、已知方程0523xx在区间32，存在唯一正根，若用二分法计算，至少迭代（C）次可以保证误差不超过31021。（二分法二分次数）A5；B7；C10；D122、用一般迭代法求方程0xf的根，将方程表示为同解方程xx，则0xf的根是（C）（不动点迭代法根的几何意义）A.xy与xy的交点B.xy与x轴交点的横坐标C.xy与xy交点的横坐标D.xy与x轴交点的横坐标3、分别改写方程042xx为42xx和2ln/)4ln(xx的形式，对两者相应迭代公式求所给方程在[1,2]内的实根，下列描述正确的是:（B）（迭代的收敛性）A.前者收敛，后者发散B.前者发散，后者收敛C.两者均收敛发散D.两者均发散分析：x,14、解非线性方程0)(xf的牛顿迭代法的收敛阶为（D）。（收敛阶数）A线性收敛；B局部线性收敛；C平方收敛；D局部平方收敛。二、填空题（每小题5分，共计20分）1、非线性方程0)(xf的迭代函数)(xx在有解区间满足，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。（迭代函数）答案：1)(x2、在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为。（切线法）答案：0)()(00xfxf3、求方程xfx根的牛顿迭代公式是。（牛顿迭代公式）答案：nnnnnxfxfxxx,114、割线法迭代公式是。（割线法迭代）第二章非线性方程（组）的数值解法考题答案：111kkkkkkkxxxfxfxfxx三、解答题（每题12分，共计60分）1、用牛顿法求()cos0fxxx的近似解。（牛顿迭代法）解：由零点定理，cos0xx在(0,)2内有根。由牛顿迭代公式1cos0,1,......1sinnnnnnxxxxnx取04x得，12340.73936133;0.7390851780.7390851330.739085133xxxx故取*40.739085133xx2、用割线法求解方程x-sinx-0.5=0在1.5附近的一个根。（割线法求根）解：割线法迭代公式为：)()sin(sin)(5.0sin1111kkkkkkkkkkxxxxxxxxxx取初始值x0=1.4，x1=1.6迭代计算，得到：)4.16.1()4.1sin6.1(sin)4.16.1(5.06.1sin6.16.12x2.0)9854497.09995736.0(2.09995736.01.16.1=1.49194263x=1.49702，4x=1.497303、设a为常数，建立计算a的牛顿迭代公式，并求115的近似值，要求计算结果保留小数点后5位。（牛顿法）解：令p(x)=x2－a，则p(x)=0的解即为a。其牛顿迭代公式为：)(212)()(21nnnnnnnnnxaxxaxxxfxfxx取a＝115，xn+1=½(xn+115/xn)第二章非线性方程（组）的数值解法考题f(x)=20取x0=11x1=½(11+115/11)=10.72727x2=½(10.72727+115/10.72727)=10.72381x2=½(10.72381+115/10.72381)=10.723814、已知函数，试分析以下两种迭代公式是否可取。（迭代收敛性）（1）（2）解:由公式（1）有，25)(3xx求导得223)('xx在[2,3]内1|)('|x所以迭代公式（1）在区间内不收敛，因而不可取。由公式（2）有，352)(xx求导得052132)('32xx可知)(x在区间内单调递增，)('x在区间内单调递减。故有2)2()(x)3(31392)2(')('03x由收敛定理可知，公式（2）在区间[2,3]内收敛，因而可取。5、0*x是0221)(22xxexfx的几重根？取,5.00x用求重根的修正牛顿公式计算此根的近似值，精确至410)(kxf。（修正牛顿法）解：22221)(xxexfx0)0(,242)('2'fxexfx0)0(,44)(''2''fexfx08)0(,8)('''2'''fexfx故0*x是0221)(22xxexfx的3重根，即m=3.修正牛顿迭代公式为：2531kkxx3152kkxx3,2,052)(f3xxxx第二章非线性方程（组）的数值解法考题kxkkxkkxexxexxkk42222132221取5.00x，计算得到00032689.02x满足要求。注:本试卷由电控14-3班第六组黑桃2和工商14-1班第三组梅花2整合而成，卷中题目与答案如发现错误之处，请谅解并希望大家指出，我们予以及时更改。