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第2章线性方程组的解法--------学习小结一、本章学习体会这章讲了线性方程组的解法,需要熟练掌握,其中有高斯消去法,直接三角分解法,判断方程组性态的良性或者病态,迭代法。而这一章中程序的求解问题也比较多,应参考下任玉洁的那本书对程序的应用求解问题,多多练习,花费一定的时间去练习编写程序,熟练掌握MATLAB的操作。我还了解到,不同的系数矩阵具有不同的性态,所以大多数迭代方法都具有一定的适用范围,有时某种方法对于一类方程组迭代收敛,而对另一类方程组迭代时就发散,因此,我们应该学会针对具有不同性质的线性方程组构造不同的迭代,对症下药。在这章中我们学习到的线性方程组的直接法,特别是适合用数学软件在计算机上求解的方法。高斯消去法是解线性方程组直接方法的基础。将线性方程组约化为等价的三角形方程组再求解是直接法的基本解法。在约化过程中,引进选主元素的技巧是为了保证方法的数值稳定性所采取的必要措施。直接三角分解法是高斯消去法的变形。从代数上看,直接三角分解法和高斯消去法本质上是一致的。但从实际应用效果来看是有差异的。迭代法是一种逐次逼近方法。迭代法具有循环的计算公式、方法简单。此外,应注意收敛性与收敛速度问题。收敛性是迭代法的前提,针对不同的问题,分析并采用适当的数值算法,如Guass-Seidel方法、SOR方法等。对以上算法的分析,立足点是在计算机上实现。因此,我们对于方法的掌握不仅在数学推导和数学公式上,而且应当深入思考方法的计算机实现过程,以加深对数值计算的认识和理解。二、本章知识梳理Gauss消去法1、顺序Gauss消去法基本思想:消元与回代顺序Gauss消去法能进行到底的条件:(1)主元1,,2,1,0)(nkakkk(2)矩阵A的前n-1个顺序主子式非零。顺序Gauss消去法的缺点:(1)没有很好的数值稳定性。(2)当A可逆时,AX=b有唯一解,但顺序Gauss消去法不一定能进行到底。2、列主元Gauss消去法基本思想:避免接近于零的数作分母。列主元Gauss消去法能进行到底的条件:当A可逆时,列主元Gauss消去法一定能进行到底。列主元Gauss消去法的优点:具有很好的数值稳定性;具有与顺序Gauss消去法相同的计算量。直接三角分解法1、Doolitte分解法与Crout分解法(1)矩阵的三角分解A=LU(2)矩阵三角分解的条件(3)Doolitte分解的缺点:条件苛刻,且不具有数值稳定性(4)用Doolitte分解求解方程组AX=bLUX=bLY=bUX=Y2、选主元的Doolitte分解法第k步,先计算中间量:nkkiulaukttkitikik,,1,,11nkkiulaskttkitiki,,1,,11第k步的主元素inikisskmax交换)1(kA的第k行与ki行在进行分解.选主元的Doolitte分解的本质:QA=LU3、带状线性方程组的三角分解法(1)保带宽的Doolitte分解nnnnnsnsnnrnnruuuuuullll,1,1,112111,,1,121111(2)保带宽的Crout分解矩阵的条件数与病态方程组1、矩阵的条件数1)(AAAcond2、线性方程组的性态:病态和良态3、病态线性方程组的求解(1)采用高精度(2)(预处理)平衡法(3)残差校正法(4)奇异值分解法迭代法迭代法(逐次逼近法):从一个初始向量出发,按照一定的计算格式,构造一个向量的无穷序列,其极限才是所求问题的精确解,只经过有限次运算得不到精确解。1、迭代法的一般形式及其收敛性2、迭代收敛的条件迭代收敛的充要条件:()1G迭代收敛的充分条件:1G3、Jacobi迭代Jacobi迭代的收敛的条件:(1)充要条件:()1JG(2)充分条件:1JG,A为主对角线按行(或列)严格对角占优阵。Jacobi迭代算法:(1)取初始点,置k=0,精度要求,最大迭代次数N。(2)计算(1)()1(),1,2,,kkiiijjjiiixbaxina(3)若(1)(),kkxx则停止计算(1)kx作为线性方程组的解。(4)若k=N,则停止计算(输出某些信息);否则置k=k+1,转到(2)4、Gauss-Seidel迭代GS迭代收敛的条件:(1)充要条件:()1GG(2)充分条件:1、1GG;2、系数矩阵A为主对角线按行(或列)严格对角占优阵;3、系数矩阵A对称正定。重点掌握:三种迭代的思想、迭代格式、迭代矩阵及收敛的条件三、本章思考题在解决某些问题时,方程组的系数矩阵不变,而右端的常数项不断发生变化,试问仍用列主元高斯消去算法求解有什么不足(从效率的角度考虑)如何改进?并写出你的理由。答:因为对于一个规模为n的线性代数方程组,利用列主元高斯消去法完成求解总共需要乘除运算次数为3()On,所以列主元高斯消去法计算是很复杂的,如果右端常数项不断发生变化,仍用列主元高斯消去算法会造成很大的计算量,导致效率大大降低,可以改进为使用LU分解法,即应用列主元高斯消去法实现PA=LU,当方程组右端b变化,而系数矩阵A不变时,这种分解可以带来一劳永逸的效果。四、本章测验题由系数矩阵A直接判定Gauss-Seidel迭代法求解方程组Axb必收敛,其中120133014A解:1110A12101312013310014所以系数矩阵A是正定矩阵,顾用Gauss-Seidel迭代法求解必收敛。
本文标题:数值分析第二章学习小结
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