数值计算龙熙华部分习题答案

第1章绪论教材习题解题思路2．算法提示：利用补充定理：设x的近似值为*120.........(10)(knixaaaa为01，….9的数字10.)akz则（1）如果*x有n位有效数字，则*1*11102nxxax（2）如果*1*11102(1)nxxax则*x至少有n位有效数字。由上述定理容易求得近似值*x有4位有效数字。3．算法提示：利用已知变量x的相对误差要求函数值的相对误差可用公式：'**()()()()fxfxfxxx。由此可得**'*lnlnln()xxxxxxxx5．算法提示：利用2中的补充定理。6．算法提示：和3中应用公式一样。11．算法提示：容易推得(1)(2)(3)(4)。由于（2）和（4）中都涉及两相近数相减，使有效数字丢失；（1）在分母上的乘幂比（3）多，每次的乘幂都会带来误差，因此（3）式得到的结果最好。补充习题解题思路1．为了使计算圆面积2RV时的相对误差小于1%，问R的允许相对误差界应是多少？解：R的允许相对误差为)()()(*RvRvRver%1)(2))((*2*'RRRRRRxv则所求为%5.0第2章方程求根教材习题解题思路3.证明先证存在性：由(),axb若(),aa或()bb，则a或b为方程的根。否则可设()xb或()xb，作辅助函数()()xxx，显然(),xCab，且有()()0aaa，()()0.bbb根据连续函数的性质，至少存在一点*,xab满足*()0,x即**()xx。()xx的根存在。再证唯一性。反证法，若方程()xx有两个不同的根**12,,xxab，则********12121212'xxxxxxxx得出矛盾，可知方程只有一根。4．解：令32()1fxxx，并取区间1.4,1.6，则01.4,1.6x。显然(1.4)(1.6)0ff，则方程32()10fxxx的根*1.4,1.6x，则对于迭代公式（1）21()1xx，32'()xx，在区间1.4,1.6内'()x连续，且有3322'()0.72911.4xx，因而该迭代收敛。（2）32()1xx，2232'()13xxx，在区间1.4,1.6内'()x连续，且有22332221.6'()10.5174113311.4xxx，因而该迭代收敛。（3）1()1xx，31'()21xx，则3311'()1.075822121.61xx，因而该迭代发散。事实上，若取01.5x进行迭代，由111kkxx得11.414,x，231.554,1.344xx，451.705,1.191,xx62.288x，显然迭代序列kx发散。由于在收敛的情况下，若'()x越小，则迭代序列kx收敛于*x的速度越快，故本题取迭代格式（2）来求方程的近似根，具体结果如下：由2311kkxx，取01.5x，则11.481,x，231.473,1.469xx，451.467,1.466,xx61.466x，迭代6次即可得方程的具有四位有效数字的根为*1.466x5．证：设方程()0fx的等价形式为()xxfx，则()(),'()1'(),xxfxxfx因为20'(),0MfxMM，所以0'()22'()011'()1MfxMfxfx6．解：注意到'(1)1(),'()xx则当,xab时，(1)1()1,xL将方程()xx写成等价形式1()xx，构造迭代形式：11(),0,1,2kkxxk可望收敛，1()x表示()x的反函数。补充习题解题思路1．设有迭代公式kkkkxxxx2)2(21，试证明该公式。在2*X附近是平方收敛的，并求21)2(2limkkkxx。证明：迭代函数324)(2xxx0)(22)()(2*2**'xxx，0)(2)(3**''xx由收敛阶判定定理，2阶收敛。极限式=22!2)(*''x第3章线性方程组的解法教材习题解题思路4．证明：先证必要性：因为向量序列kx收敛于向量x，即1limlimlimlimmaxmaxlimmax0lim0kkkkkiiiiiikkkkkkinxxxxxxxxxx即再证充分性：因为lim0kkxx即limmaxmaxkiikxx所以limlimkkkxx。6.证明提示：先假设EB是不可逆矩阵，推出矛盾，说明EB是可逆矩阵，再利用1()()1EBEBE即可推出结论。7．算法提示：利用迭代法基本定理判断（B)1即可。9．算法提示：利用迭代法基本定理判断（B)1。再求解谱半径小于1时可证明结论成立。10．算法提示：先将迭代公式写成标准形式，求得B，再利用迭代法的基本定理去证明。12．算法提示：将U和L依次按行和列交错求出即可。补充习题解题思路1．设211111112A，1221b。若线性方程组bxA仅有右端有扰动41021b。试估计由此引起的解的相对误差xx。解：||||||||||||||||||||||||1bbAAxx（5分）210214||31310919531929131||4410（9分）第四章数值积分要点：（1）数值积分公式的代数精确度概念，代数精确度所蕴含的余项表达式（2）插值型求积公式的构造及余项表达式（3）插值型求积公式关于代数精确度的结论及证明（4）梯形公式、Simpson公式的形式及余项表达式（5）复合梯形公式、复合Simpson公式及其余项表达式（6）掌握如何根据要求的精度依据复合梯形（或Simpson）公式的余项确定积分区间[a,b]的等分次数n（7）Newton-Cotes求积分公式的特点以及代数精确度的结论（8）高斯型求积公式的概念复习题：1、已知求积公式为11150.68050.69fxdxfff(1)确定它的代数精度，并指出它是否为Gauss公式；(2)用此求积公式计算定积分21410.452.2xdxx解：（1）依次取2345()1,,,,,fxxxxxx代入积分公式可发现:左端=右端，而当取6()fxx时，左端可端可见该是求积公式具有5阶代数精确度由于求积公式节点数为3n,而公式代数精确度21pn所以该求积公式为Gauss公式（1）对于240.4()52.2xfxx，有240.4()0.5166,(0)0.426452.620.xffx故21410.5166800.41(50.953052..426450.51669)2xdxx2、对于2结点插值型求积公式200110fxdxAfxAfx。（1）如果求积分公式是两结点牛顿—科特斯求积公式，请给出求积系数01,AA，求积结点01,xx，并给出积分余项表达式（2）若使其具有最高的代数精度，试确定求积系数与求积结点？代数精度为多少？注：本题不用考虑3、分别用梯形公式和二点Gauss公式计算积分10dxex，比较二者的精度解：利用梯形公式，10101()1.85922xedxee注：Gauss公式部分不要4、对于积分10dxex。（1）写出梯形公式与辛普森公式；（2）请直接指出这两个公式的代数精度；（3）问区间[0,1]应分为多少等分，用复化辛普森公式才能使误差不超过61021解：（1）011()0.68392Tee，00.511(4)0.63236Seee（2）梯形公式余项3()[](12),[0,1]12TbaRffe辛普森公式余项5(4)()[](),[0,1]28828800SffebaR可见梯形公式代数精度为1p，辛普森公式代数精度3p（3）根据复合辛普森公式的余项5(4)44()[](2880288)0nSbaeRffnn注意到441|[]|28802880nSeRfnn令64111028802n，解得5.133n可见当取4n时，对应的复合辛普森公式nS可满足精度要求5、确定下列公式22)1()0()1()(CfBfAfdxxf中的参数A，B，C，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精确度。解：依次取2()1,,fxxx代入积分公式，并令:左端=右端，得方程组4016+3ABCACAC，解得8343ACB得公式：224()(2(1)(0)2(1))3fxdxfff取3()fxx代入公式，有左端=右端取4()fxx代入公式，有左端右端可见该求积公式代数精确度为3p6、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度)()0()()(22hCfBfhAfdxxfhh解：解题过程与上题类同，所得结果816,433AChBh代数精确度为3p7、试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。20210)2()1()0()(fffdxxf解：解题过程与上题类同，所得结果816,433AChBh代数精确度为3p8、求积公式)43(32)21(31)41(32)(10fffdxxf具有多少次代数精确度解：依次取23()1,,,fxxxx代入积分公式，得左端=右端当取4()fxx时，左端右端，故公式的代数精确度为3p9、试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。10010)0()1()0()(fBfAfAdxxf解：依次取2()1,,fxxx代入积分公式，令左端=右端，得0110111213AAABA得010211336AAB，，公式的代数精确度为2p10、试确定下列求积公式的代数精确度)]1(')0('[121)]1()0([21)(10ffffdxxf解：依次取23()1,,,fxxxx代入积分公式，得左端=右端当取4()fxx时，左端右端，故公式的代数精确度为3p11、试确定常数01,AA,使求积公式101111()()()33fxdxAfAf有尽可能高的代数精度,并指出代数精度是多少,该公式是否是Gauss型?并用此公式计算积分311Idxx（结果保留5位小数）解：依次取()1,fxx代入积分公式，令左端=右端，得011AA对应求积公式1111()()()33fxdxff依次取23(),fxxx代入积分公式，得左端=右端当取4()fxx时，左端右端，故公式的代数精确度为3p由于求积公式节点数2n，而代数精确度213pn可见该求积公式是Gauss型求积公式311111111.09091122233Idxdxxx12、求出二点Gauss求积公式)()()(110011xfHxfHdxxf中系数0H，1H及节点0x，1x。并用此公式计算积分20cosxdxI（结果保留5位小数）解：依次取23()1,,,fxxxx代入积分公式，令左端=右端，得01001122001133001120230HHHxHxHxHxHx