数分定积分概念.

§3可积条件§4定积分的性质§1定积分概念§5微积分学基本定理§2牛顿—莱布尼茨公式第九章定积分§6定积分的计算9.1定积分的概念一、问题提出1.曲边梯形的面积设y=f(x)为区间[a,b]上连续函数，且f(x)≥0，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=by=0所围成的图形称为曲边梯形。下面讨论曲边梯形的面积xybaO)(xfy对于多边形的面积，我们在中学就已经会计算了，例如矩形的面积=底×高显然，曲边梯形的面积不能用这个公式来计算。虽然曲边梯形的准确面积我们不会计算，但是我们可以用一些小矩形来近似算出它的面积。xybaOix1ix1x⑴分割用任意的一组分点：bxxxxann110把[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi]i=1,2,…,n相应地把曲边梯形分为n个小曲边梯形，其面积分别记为ΔSii=1,2,…,n（化整为零）xybaOix1ix1x⑵近似代替i在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi，)(ifiiixfS)(其中1iiixxx（曲转化为直）于是小曲边梯形的面积⑶求和niiixfS1)(xybaOix1ix1xi)(if（积零为整）大曲边梯形的面积⑷取极限xybaOix1ix1xi)(if令0}{max||||1inixT若极限niiiTxf10||||)(lim存在，则定义此极限值为曲边梯形的面积（直转化为曲）让每个小区间的长度趋于零求曲边梯形的面积体现了曲转化为直、直转化为曲的辩证思想。这个计算过程，就是一个先微分后积分的过程。也就是说，把曲边梯形分割成许多小曲边梯形，在每个小曲边梯形中，把曲边看成直边，用这些小“矩形”面积的和近似地表示原来大曲边梯形的面积，从而实现了局部的曲转化为局部的直，即“以直代曲”。然后，再把分割无限加细，通过取极限，就使小矩形面积的和，转化为原来大曲边梯形的面积。这样局部的直又反过来转化为整体的曲。这种曲转化为直，直转化为曲，以及由此所反映出来的化整为零、积零为整的思想方法，是微积分乃至整个高等数学的一个重要方法。F虽然是变力，但在很短一段间隔内，F的变化不大，可近似看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想，F(x)AB再看一个变力做功的问题。设质点m受力的作用，在变力F的作用下，沿直线由A点运动到B点，求变力作的功bat⑴分割用任意的一组分点：011nnattttb把[a,b]分成n个小区间[ti-1,ti]i=1,2,…,n1itit1t⑵近似代替在[ti-1,ti]上任取一点ξi，于是在该小区间上的力()iiiWFt1iiittti作的功]ix,1i[xiξ,)iF(ξF⑶求和总功1()niiiWFt⑷取极限令0}{max||||1initT若极限||||01lim()niiTiFt存在，则定义此极限值为力所做的功的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义niixif1)(从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如二、定积分的定义bxxxxxann1210定义1:在[a,b]内任取一组分点将[a,b]分成n个子区间Δi=[xi-1,xi]i=1,2,…,n这些分点构成[a,b]的一个分割，记为T={x0,x1,…,xn}={Δ1,Δ2,…,Δn}记Δxi=xi–xi-1，并称}{max||||1inixT为分割T的模bax1ixix1xixTni,,2,1T],[baTTT不唯一确定唯一确定TTTTT注：1°由于因此可用来反映2°分割与其模的关系：即分割一旦给出，就随之确定，但是的分割却有无限多个.被分割的细密程度.具有同一细度称此和式为f在[a,b]上的一个积分和，也称为黎曼（Riemann）和定义2:设函数f(x)在[a,b]上有定义,对[a,b]的一个分割T={Δ1,Δ2,…,Δn}，任取点iΔi,i=1,2,…,n，作和niiixf1)(Ti显然积分和既与分割有关，又与所选取有关的点集定义3:设函数f(x)在[a,b]上有定义,若任给的ε0，总存在δ0，使得对[a,b]的任何分割T={Δ1,Δ2,…,Δn}，任意的iΔi,i=1,2,…,n，只要||T||δ,就有|)(|1Jxfniii)(xf],[baJ)(xf],[babadxxfJ)(则称函数上可积或黎曼可积.数称为上的定积分或黎曼积分记作在在)(xfx],[baab其中称为被积函数，为积分变量，为积分区间，分别称为这个定积分的下限和上限注1:把定积分定义的说法和函数极限的说法对照，便会发现两者有相似的陈述方式，因此我们也常用极限符号来表达定积分即把它写作baniiiTdxxfxfJ)()(lim10||||)(limxfaxx)(xfT然而积分和的极限与函数的极限之间有着极大中，对每一个来说，的值是唯一确定的；并不唯一的区别：在函数极限极限变量而对于积分和的极限而言，每一个对应积分和的一个值.这使得积分和极限要比通常的函数极限复杂得多于是本节开头两个实例都可用定积分记号注2：可积性是函数的又一分析性质（连续，可导为以前学过的另外两个分析性质）据下一节定理9.3知,连续函数是可积的.来表示1.曲线y=f(x)≥0，直线x=a，x=b，y=0所围成的曲边梯形面积可用定积分表示为badxxfS)(2.变力作功问题可表示为badxxFW)(注3定积分的几何意义.当f(x)≥0，定积分badxxf)(的几何意义就是曲线y=f(x)直线x=a，x=b，y=0所围成的曲边梯形的面积bAoxyay=f(x)S当函数f(x)0，x[a,b]时定积分badxxf)(Sdxxfba)(就是位于x轴下方的曲边梯形面积的相反数.即oxyaby=f(x)S)(xfJ对于一般非定号的而言，定积分的值)(xfyx是曲线在轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和注4：定积分数值只与被积函数及积分区间[a,b]有关,与积分变量记号无关bababaduufdttfdxxf)()()(规定当a=b时,0)(aadxxf规定当ab时,abbadxxfdxxf)()(例1求在区间[0,1]上，以抛物线y=x2为曲边的曲边三角形的面积解由定积分的几何意义，有niiiTxdxxS120||||102lim因为定积分存在，对区间[0,1]取特殊的分割xyO2xy1将区间[0,1]等分成n等份,分点为11210nnnnn1n2nn1xyO2xy1nxi1每个小区间的长度),,2,1(],1[ninininii取则有ninnni121)(limninin1231lim)12)(1(611lim3nnnnn3)12)(1(lim61nnnnn31niiiTxdxxS120||||102limn1n2nknn.1211616)12()1(1))1(21(11112111032223222nnnnnnnnnnnnnnnnSnxOy——曲边三角形面积的计算把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线,这样曲边三角形被分成n个窄条,用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来,得到一个近似值:2xy因此,我们有理由相信,这个曲边三角形的面积为:.61121161limlimnnSSnnn例2利用定义计算定积分.121dxx解在]2,1[中插入分点12,,,nqqq,典型小区间为],[1iiqq，（ni,,2,1）小区间的长度)1(11qqqqxiiii,取1iiq，（ni,,2,1）iinixf)(1iniix11)1(1111qqqiniiniq1)1()1(qn取2nq即nq12),12(1nn)12(lim1xxxxxx112lim1,2ln)12(lim1nnn,2lndxx211iniix101lim)12(lim1nnn.2lniinixf)(1四、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限3.定积分的几何意义及简单应用思考题将和式极限：nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示成定积分.思考题解答原式nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1limninnin1sin1limnninin1sinlim1.sin10xdxixi作业：P2041,2(1)~(4).