数列中的存在性问题经典(教师)

第1页共11页专题：数列中的存在性问题一、单存在性变量解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为n）的方程，然后n的系数为0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。例1、已知数列{na}的前n项和为nS=235nn，在数列{nb}中，1b=8，164nnbb=0，问是否存在常数c使得对任意n，logncnab恒为常数M，若存在求出常数c和M,若不存在说明理由.解析：假设存在常数c使得对任意n，logncnab恒为常数M，∵nS=235nn，∴当n=1时，则1a=1S=8，当n≥2时，na=1nnSS=2235[3(1)5(1)]nnnn=62n，当n=1适合，∴na=62n，又∵164nnbb=0，∴1nnbb=164，∴数列{nb}是首项为8，公比为164的等比数列，∴nb=118()64n=962n，则logncnab=9662log2ncn=62(96)log2ann=6(1log2)29log2aan，又∵对任意n，logncnab恒为常数M，∴6(1log2)a=0，解得c=2，∴M=29log2a=11，∴存在常数c=2使得对任意n，logncnab恒为常数M=11.二、双存在型变量解题思路：先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，第2页共11页则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进行检验。例2、【2010南通一模】设等差数列{}na的前n项和为nS，且5133349aaS，．（1）求数列{}na的通项公式及前n项和公式；（2）设数列{}nb的通项公式为nnnabat，问:是否存在正整数t，使得12mbbb，，(3)mmN，成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.【解】（1）设等差数列{}na的公差为d.由已知得51323439aaa，，………………2分即118173adad，，解得112.ad，……………………………………………………………4分.故221nnanSn，.…………………………………………………………………6分（2）由（1）知2121nnbnt.要使12mbbb，，成等差数列，必须212mbbb，即312123121mttmt，………………………………………………………………8分.（3）整理得431mt，……………………………………………………………11分因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当2t时，7m；当3t时，5m；当5t时，4m.故存在正整数t，使得12mbbb，，成等差数列.………………………………15分例3、设数列na的前n项和2nSn，数列nb满足*()nnnabmNam.（Ⅰ）若128,,bbb成等比数列，试求m的值；（Ⅱ）是否存在m，使得数列nb中存在某项tb满足*14,,(,5)tbbbtNt成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）因为2nSn，所以当2n时，121nnnaSSn……………………3分又当1n时，111aS，适合上式，所以21nan（*nN）…………………4分第3页共11页所以2121nnbnm，则1281315,,1315bbbmmm，由2218bbb，得23115()3115mmm，解得0m（舍）或9m，所以9m………………7分（Ⅱ）假设存在m，使得*14,,(,5)tbbbtNt成等差数列，即412tbbb，则712127121tmmtm，化简得3675tm…………………………………12分所以当51,2,3,4,6,9,12,18,36m时，分别存在43,25,19,16,13,11,10,9,8t适合题意，即存在这样m，且符合题意的m共有9个………………………………………14分例4、【2010徐州三模】已知数列na是各项均不为0的等差数列，nS为其前n项和，且满足221nnaS，令11nnnbaa，数列nb的前n项和为nT.（1）求数列na的通项公式及数列nb的前n项和为nT；（2）是否存在正整数,mn(1)mn，使得1,,mnTTT成等比数列？若存在，求出所有的,mn的值；若不存在，请说明理由.解：（1）因为na是等差数列，由212121()(21)(21)2nnnnaanaSna，又因为0na，所以21nan，………………………………………………………2分由111111()(21)(21)22121nnnbaannnn所以111111(1)2335212121nnTnnn．……………………………6分(2)由(1)知，21nnTn，所以11,,32121mnmnTTTmn，若1,,mnTTT成等比数列，则21()()21321mnmn，即2244163mnmmn．……8分第4页共11页解法一：由2244163mnmmn，可得223241mmnm，所以22410mm，……………………………………………………………12分从而：661122m，又mN，且1m，所以2m，此时12n．故可知：当且仅当2m，12n使数列nT中的1,,mnTTT成等比数列。…………16分解法二：因为1136366nnn，故2214416mmm，即22410mm，………12分从而：661122m，（以下同上）．三、三个存在型变量------连续的解题思路：这类问题的形式一般是，“是否存在连续的三项，恰好成等差数列（或等比数列）”。可以先假设存在，然后构造一个关于单存在性变量的方程，即转化为一个方程有正整数根的问题，我们可以按照处理零点问题的方法（“解方程”或者“画图像”）求解。例5、【扬州2010一模】已知数列{}na，(0,0,,,0,*)nnnapqpqpqRnN.⑴求证：数列1{}nnapa为等比数列；⑵数列{}na中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；⑶设{(,)|3,*}nnnnAnbbknN，其中k为常数，且kN，{(,)|5,*}nnnBnccnN，求A∩B.解：⑴∵na=nnpq，∴111()()nnnnnnnapapqppqqqp，∵0,0,qpq∴211nnnnapaqapa为常数∴数列1{}nnapa为等比数列------------------------------------------------------------4分⑵取数列{}na的连续三项12,,(1,)nnnaaannN，第5页共11页∵211222212()()()()nnnnnnnnnnnaaapqpqpqpqpq，0,0,,0pqpq，∴2()0nnpqpq，即212nnnaaa，∴数列{}na中不存在连续三项构成等比数列；------------------------------------------9分⑶当1k时，3315nnnnk，此时BC；当3k时，33323nnnnnk为偶数；而5n为奇数，此时BC；当5k时，35nnnk，此时BC；----------------------------------------------12分当2k时，325nnn，发现1n符合要求，下面证明唯一性（即只有1n符合要求）。由325nnn得32()()155nn，设32()()()55xxfx，则32()()()55xxfx是R上的减函数，∴()1fx的解只有一个从而当且仅当1n时32()()155nn，即325nnn，此时{(1,5)}BC；当4k时，345nnn，发现2n符合要求，下面同理可证明唯一性（即只有2n符合要求）。从而当且仅当2n时34()()155nn，即345nnn，此时{(2,25)}BC；综上，当1k，3k或5k时，BC；当2k时，{(1,5)}BC，当4k时，{(2,25)}BC。------------------------------16分四、三个存在型变量------不同的解题思路：这类问题的形式一般是，“是否存在不同的三项……，恰好成等差数列（或等比数第6页共11页列）”，不难看出，三个存在型变量均出现在下标，这就等于给定了两个隐含条件，其一，三个变量均为正整数，其二，三个变量互不相等。另外，一旦我们主动去分析数列的单调性，那么我们就可以不妨设出这三个变量的一个大小顺序。具体的，该类问题可以分成三类。其一，等差中找等比（无理有理找矛盾）例6、【扬州2010三模】已知数列{}na满足：2121+,4=12+,2nnn+anaaan为偶数为奇数,-,（*,,nNaRa为常数），数列{}nb中，221nnba。⑴求123,,aaa；⑵证明：数列{}nb为等差数列；⑶求证：数列{}nb中存在三项构成等比数列时，a为有理数。解：⑴由已知11122aaa，得112aa，211144aaa，32122aaaa。……………………………4分⑵221212122nnnbaaa，2221222121121222221111322()212()1224242nnnnnnnbaaaaaaaaaaa∴11nnbb，又13baa，∴数列{}nb是首项为a，公差为1的等差数列。……………………………………9分⑶证明：由⑵知1nban，……………………………………………10分若三个不同的项,,aiajak成等比数列，i、j、k为非负整数，且ijk，则2()()()aiajak，得2(2)aikjjik，……………………………12分第7页共11页若20ikj，则20jik，得i=j=k，这与ijk矛盾。…………14分若20ikj，则22jikaikj，∵i、j、k为非负整数，∴a是有理数。………………………………………………………………16分例7、等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解：由已知得a1＝2＋1，3a1＋3d＝9＋32，∴d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)．(2)证明：由(1)得bn＝Snn＝n＋2.假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则rpqbbb2即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)2＝0.∵p，q，r∈N*，∴q2－pr＝0，2q－p－r＝0，∴p＋r22＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r.这与p≠r相矛盾．所