数列求和2.

111(1)(1)111nnnnaqnSqqaaSqqq等比数列的前项和这个公式还可以写成1=,1nnakSkkqq如果设那么这个式子说明什么问题呢？nnnSkkqqq说明的系数与常数项是的，其中的互为相反数就是公比233,2nnnanSkkq等比数列的前项和很容易得出：公比性质一2322,,,mmmmmSSSSSdmd我们知道，在中有以下性质：也成等差等差数列数列公差请把这条性质经过类比，推广到等比数列232,,,,nnmmmmmanSSSSSS等比数列设的前项和为则有：也成等比数列证明这个结论！性质二3070S答案：51162ma答案：，10203010,=30naSSS例1.等比数列中，，求5.31,nnnanSmma例2等比数列的前项和求的值以及的值.110103020101.,2,2(21)0..nnnaanSSSSa例3设正项等比数列首项前项和为且求的通项公式34,2,14,nnnnnanSSSS练习：各项均为正的等比数列的前项和为若求1()2nna答案：430nS答案：等差数列等比数列定义一般地,如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫公差．一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列．这个常数叫公比．等差数列与等比数列对比记忆表数列等差数列等比数列定义式公差（比）通项公式推广形式公差(比)an+1-an=dd叫公差q叫公比an=a1+(n-1)dan=a1qn-1an=am+(n-m)dan=amqn-mmnaadmnmnmnaaqqaa1nn等差数列与等比数列对比记忆表数列等差数列等比数列前n项和公式性质中项构造三数构造四数a，a+d，a+2da,aq,aq2或者a-d，a，a+daqaqa，，或a-3d，a-d，a+d，a+3d33aqaqqaqa，，，m+n=p+qan+am=ap+aqm+n=p+qanam=apaq2cabcb,a,则等差中项成等差数列，若acbcb,a,则等比中项成等比数列，若等差数列与等比数列对比记忆表数列求和介绍求一个数列的前n项和的几种方法：1、运用公式法2、错位相减法3、裂项相消法4、分组求和法5、倒序相加法一、运用公式法运用公式法主要是使用已经证明，并承认其在解决其他问题时可以使用的公式来进行数列求和。如：等差数列的求和公式：dnaS2)1n(n12)aa(nnn1等比数列的求和公式：nS1naq1)q1(an1)1q()1q(还有一些常用公式：233332222]2)1n(n[n321;6)1n2)(1n(nn321;2)1n(nn321数例1求数列的前n项和，，，，，32116181412197531分析：由这个数列的前五项可看出该数列是由一个首项为1、公差为2的等差数列与一个首项为、公比为的等比数列的和数列。所以它的前n项和可看作一个等差数列的前n项和与一个等比数列的前n项和的和。212111414133818155解：)12(53121814121nnSnnn21814121)12(5312)121(nn2121211)1(n2nn211归纳出：奇数列的前n项和2)12531nn（2121列求和分组求和法,+n1练习1:求数列+23,+的前n项和。...,222,32n2+123ncn=an+bn({an}、{bn}为等差或等比数列。）项的特征分组求和法的反思与小结：要善于从通项公式中看本质：一个等差{n}＋一个等比{2n}，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题。练习2.求数列2+3,22+32,23+33,……,2n+3n的前n项和。Sn=2+-n+1n+13227二、错位相减法错位相减法在推导等比数列求前n项和时用过；它主要用于由一个等差数列与一个等比数列的积数列求和。求法步骤如下：1、在的两边同时乘于公比qnnaaaS212、两式相减；左边为，右边q的同次式相减nSq)1（3、右边去掉最后一项（有时还得去掉第一项）剩下的各项组成等比数列，可用公式求和。看以下例子数列求和例2求数列的前n项和考一本第19课时nn212167854321，，，，，分析：该数列可看作等差数列等比数列的积数列12nn21这里等比数列的公比q=21解：n43221n227252321nS1nn43221n223n2252321nS21两式相减：1nn43221n22222222221n21S)1(所以：n21S21211n21211)1（1n21n2运算整理得：nnnS2323数列求和例3设,求数列的前n项和0annaaaaa,,4,3,2,432nS分析：这个数列的每一项都含有a，而a等于1或不等于1，对数列求和有本质上的不同，所以解题时需进行分类讨论解：1a若nSn3212)1(nn1a若nnnaaaaS3232aqaaaann的积数列，且等比数列与，，，差数列此时，该数列可看作等,,,,,32132两边同乘a:naS132)1(2nnnaanaa两式相减：132)1(nnnnaaaaaSa所以：nSa)1(aaan1)1(1nna运算并整理得：a1naa1)a1(an1nnS21n2n)a1(aa)1n(na数列求和cn=an·bn({an}为等差数列,{bn}为等比数列)项的特征二、错位相减求和法小结练习题n2naa2n2221,2212111nnn-1n22项和为多少？，则其前满足、数列项和为多少？的前，，，，、数列三、裂项相消法顾名思义，“裂项相消法”就是把数列的项拆成几项，然后，前后交叉相消为0达到求和目的的一种求和方法。求法步骤1、先分析数列的项的结构，把通项式“裂”成几项。（注意：裂开后的通项式当n=k和n=k+d时有相消为0的情况出现才行）2、解题时；对裂开后的通项式令n取1，2，3，,n然后相加得nS3、把和式中每一对相消为0的式子除去，整理剩下的式子即为和式。请看下面例子数列求和例4求数列的前n项和。)1n3)(2n3(11071741411，，，，分析：该数列的特征是：分子都是1，分母是一个以1为首项，以3为公差的等差数列的相邻两项的乘积。只要分子变为公差3，就可以裂项了。)13)(23(1nnna)13)(23(331nn)13)(23()23()13(31nnnn)13123131nn（解：)13)(23(11071741411nnnS][)13)(23(3107374341331nn][)13)(23()23()13(1077107447411431nnnn)1(1312311017171414131nn)1(13131n13nn数列求和例5求数列的前n项和)12)(12()2(7565343122222nnn，，，，nS分析：该数列的分子是偶数的平方，分母是奇数列相邻两项的乘积；从例4的经验看：该数列求和使用“裂项相消法”的可能性较大，那就看分子能否化为常数。注意到该数列的通项公式的特征：分子、分母同次且没有一次项；所以使用处理分式函数的常用手段：“分离常数法”即可把分子化为常数。变化如下：)12)(12(1)12)(12(11)2()12)(12()2(122nnnnnnnnna)12)(12()12()12(21)12)(12(22111nnnnnn)(112112121nn数列求和)(112112121nnna由解：)12)(12()2(7565343122222nnnnS)(1)1112112121513121311121nn（）（共n项)]()()1[(12112151313121nnn)1(12121nn12)1(2nnn数列求和（数列{an}是等差数列）项的特征111111()nnnnncaadaa三、裂项相消求和法小结注意裂项相消法的关键：将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。常见的拆项公式：1111.(1)1nnnn11112.()()nnkknnk11115.()(21)(21)22121nnnn11116.[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn117.()ababab211111113.1(1)(1)1kkkkkkkkk22111114.()1211kkkk2128.2(1)2(1)11nnnnnnnnn练习：（求和）111(1).112123123nsn111(2).12231nsnn答案：（）12221.2()123(1)1nannnnn111112[(1)()()]2231nsnn122(1)11nnn1(2).11nnnn2132111nsnnn四、倒序相加法例1：已知lg(xy)=a,求Ｓ＝lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lgyn与首尾两项等距的两项之和等于首尾两项之和，则可先将Sn顺着写，再将Sn倒着写，最后将两个Sn相加。Ｓ＝lgyn+lg(xyn-1)+lg(x2yn-2)+…+lgxn2Ｓ＝lg(xy)n+lg(xy)n+lg(xy)n+…+lg(xy)n＝(n+1)lg(xy)n＝n(n+1)lgxyＳ＝n(n+1)a/2项的特征a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…2.设利用课本中推导等差数列前项和的方法求的值为_______.1(),,22(5)(4)(0)(5)(6)xfxnfffff111()(1)2222nnfnfn11121221122222222nnnnnn111(222)2212222222nnnn练习：1.求数列前n项和2.求数列的前n项和3.求和：4.求和：1×4+2×5+3×6+…+n×(n+3)5.求数列1，(1+a)，(1+a+a2)，…，(1+a+a2+…+an1)，…的前n项和.1,4,7,10,,(1)(32),nn3232nn222222(10099)(9897)(21)学有所思举一返三四、通项分析法通项分析法就是根据前面学过的运用公式法、错位相减法、裂项相消法为基础，对数列的通项公式进行分析，从而决定使用那种方法求和。求法步骤1、确定所求和数列的通项公式，必要时，注意使用由已知数列的前几项，求这数列的一个通项公式的方法2、分析通项公式时，在确定首项、末项、及项数的同时还要分析清楚是那些数列的和、差、积、商数列。请看下面例子数列求和例7求数列的前n项和1222221221211n，，，，分析：由数列的结构来分析，该数列的第k项应该是：12222121)21(112kkkka