数字信号处理教案(第10次课)

第3章离散傅里叶变换及其快速算法§3.1离散傅里叶变换（DFT）为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其离散傅里叶级数（DFS）表示。§3.1.1离散傅里叶级数（DFS）一个周期为N的周期序列，即，k为任意整数，N为周期周期序列不能进行Z变换，因为其在n=-到+都周而复始永不衰减，即z平面上没有收敛域。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。周期为N的正弦序列其基频成分为：K次谐波序列为：但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的，这是与连续傅氏级数的不同之处，即因此将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取k=0到(N-1)这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数，利用正弦序列的周期性可求解系数。将上式两边乘以，并对一个周期求和1)可求N次谐波的系数2）也是一个由N个独立谐波分量组成的傅立叶级数3）为周期序列，周期为N。时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列。是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种对称关系可表为：习惯上：记DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。DFS的几个主要特性：1）线性2）序列移位3）共轭对称性4）周期卷积若则或)(~)(~kNnxnxnNjene/21)(knNjkene/2)(knNjnNkNjee/2)(/2)()(nenekNk10/2)(~1)(~NKknNjekXNnx)(~kXrnNje)/2(10)(~)(~102NkenxkXNnknNj)(~kX)(~kX)(~kX)(~)(~nxkX10/2)(~1)](~[)(~NnnkNjekXNkXIDFSnx10/2)(~)](~[)(~NnknNjenxnxDFSkXNjNeW/2)(~)(~)(~kYkXkF10)(~)(~)(~)(~NmmnymxkFIDFSnf10)(~)(~Nmmnxmy由于DFS与IDFS的对称性，对周期序列乘积，存在着频域的周期卷积公式，若则§3.1.2离散傅里叶变换（DFT）我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此它的许多特性可推广到有限长序列上。一个有限长序列x(n)，长为N，为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列，它由长度为N的有限长序列x(n)延拓而成，它们的关系：周期序列的主值区间与主值序列：对于周期序列，定义其第一个周期n=0~N-1，为的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列x(n)。x(n)与的关系可描述为：数学表示：RN（n）为矩形序列，符号（（n））N是余数运算表达式，表示n对N求余数。频域上的主值区间与主值序列：周期序列的离散付氏级数也是一个周期序列，也可给它定义一个主值区间，以及主值序列X(k)。数学表示：长度为N的有限长序列x(n)，其离散傅里叶变换X(k)仍是一个长度为N的有限长序列，它们的关系为：x(n)与X(k)是一个有限长序列离散傅里叶变换对，已知x(n)就能唯一地确定X(k)，同样已知X(k)也就唯一地确定x(n)，实际上x(n)与X(k)都是长度为N的序列（复序列）都有N个独立值，因而具有等量的信息。有限长序列隐含着周期性。DFT特性：(1)线性(2)循环移位（3）循环卷积（4）有限长序列的线性卷积与循环卷积（5）选频性（对ω0有限制）循环卷积过程:1）由有限长序列x(n)、y(n)构造周期序列2）计算周期卷积3）卷积结果取主值1010)(~)(~1)(~)(~1)](~[)(~NlNllYlkXNlkYlXNnfDFSkF)(~)(~)(~nynxnfnNnnxnx其余010)()()(~nxnNnnxnxrNnxnxr其它010)(~)()()(~)(~)()()(~主值序列的是的周期延拓是nxnxnxnx)(~nx)(~nx)(~nx)())(()()(~)())(()(~nRnxnRnxnxnxnxNNNN)(~kX)(~nx10NkNNkXkXkRkXkX))(()(~)()(~)(10)(1)]([)(10)()]([)(1010NnWkXNkXIDFTnxNkWnxnxDFTkXNkknNNnknN)(~)(~nynx与10)(~)(~)(~Nmmnymxnf)()(~)(nRnfnfN