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第二章维纳滤波和卡尔曼滤波2.1引言只考虑加性噪声影响,即观测数据xn是信号sn和噪声vn之和,即xnsnvn不含噪声的信号sn称为期望信号,乃滤波之目的,亦可用dyn表示。系统实际输出ˆynsn是对期望信号的估计。维纳滤波从信号估计的角度讲:估计过去的信号值snN叫做平滑;估计当前的信号值sn叫做滤波;估计将来的信号值snN叫做预测。这些估计都采用相同的准则:误差均方值最小,2nEe。2.2维纳滤波器的时域解(费时费力,更多考虑用Z域解)设计维纳滤波器实际就是选择系统函数h(n),使得输出信号x(n)与期望信号d(n)的误差均方值最小。考虑线性时不变系统,设单位脉冲响应012,,,hnanjbnn2.2.1时域求解根据系统输出*ynxnhn和均方误差函数22EenEdnyn令2Een关于hj的导数为0,即20012,,,,jEenjh可以推得0*Exnjen结论:正交性原理.....——均方误差值达到最小的充要条件是误差信号...................e.(.n.).与任意输入的待估计信号...........x.(.n.).正交..。2.2.2维纳-霍夫方程由上一式子展开可以得到维纳..——..霍夫方程....的形式:0012*,,,xdxxxxmrkhmrkmhkrkk维纳——霍夫方程表明,输入信号x(n)(待处理信号)与期望信号d(n)的互相关函数等于系统函数(维纳滤波器的时域解)与输入信号的互相关函数rxx(n)卷积。若.h.(.n.).为有限长....M.的因果序列,对.......k=..0,1,....….,.M.-.1.可以得到....M.个方程的方程组,写成..........矩阵形式....为.:1xdxxxxxdRRhhRR时域求解维纳滤波器不是一个有效的方法,做了解。最小均方误差:22*minTdxdoptEenRh2d为期望信号方差。2.3离散维纳滤波器的z域解2.3.1由时域解得z域解离散维纳滤波的z域解形式可以由时域解经z变换得到。*xsxdxxrkrkhkrk若信号与噪声不相关,则,xsssxxssvvSzSzSzSzSz对时域解进行z变换,可以得到z.域解..xsssoptxxssvvSzSzHzSzSzSz2.3.2从另一角度分析下面将从另一个角度.....得到z域解:考虑信号x(n)及其信号模型B(z),其模型逆系统B-1(z)。将信号x(n)作为逆系统B-1(z)的输入,则输出为白噪声w(n),这一过程叫做白化。将白噪声w(n)作为另一滤波器的输入,得到维纳滤波器的输出信号ˆsn,即为信号s(n)的估计值。由图可知维纳滤波器的传输函数为GzHzBz利用均方误差最小可以得到非因果...维纳滤波器的最佳解21optwsoptwGzSzHzBzBz由*snsnn和*xnwnbn,根据相关卷积定理得1xswsSzSzBz可得最佳解2111xsxsoptxxwSzSzHzBzSzBz仍然假设信号与噪声无关,同样可以得到z.域解..ssoptssvvSzHzSzSz由最佳解可以推得最小均方误差2220minwssskwrkEenr2.3.3因果系统求解对于实际系统,都是因果系统,即00,gnn相应的最佳解变为2111xsoptwSzHzBzBz最小均方误差值22201012minwssskwssoptxsCrkEenrdzSzHzSzjz因此可得最佳维纳滤波器的设计步骤............为:(1)先根据观测信号xn利用理谱分解的方法得到相应的信号模型Bz和白噪声方差2w;(2)求1xsSzBz的表达式,进而求其Z逆变换,再通过其逆变换求单边Z变换得到1xsSzBz。2.4维纳预测维纳预测是根据以前时刻的............p个数据...12,,,xnxnxnp,估计当前时刻.......的.xn或者未来....nN时刻的信号值,即估计信号............0,ˆsnNN,同样满足均方误差值最小............的原则。....2.4.1维纳预测的计算维纳预测和维纳滤波很相似。在维纳滤波中期望的输出信号dynsn,实际输出则为ˆynsn;在维纳预测中期望的输出信号dynsnN,实际输出则为ˆynsnN。利用均方误差最小原则可以得到维纳预测....的最佳解....dNxyxsoptxxxxSzzSzHzSzSz相应的最小均方误差2112minNssoptxsCdzEenNSzHzSzzjz如果为因果系统,最佳解为.........2111NxsoptwzSzHzBzBz2.4.2纯预测输入信号....xn不存在噪声.....,期望信号.....0,snNN的情况称为.....纯预测...。此时有21ssxsxxwSzSzSzBzBz由此可得纯预测...的.最佳解...21111NxsNoptwzSzHzzBzBzBzBz最小均方误差22112minNNwCdzEenNBzBzBzzzBzjz考虑到是因果系统,最小均方误差12220minNwnEenNbn结论:N越大,2minEenN也随之增大,即预测距离越远,预测效果越差。2.4.3一步线性预测及其时域解已知..12,,,xnxnxnp,预测当前值......xn,仍不考虑噪声.......vn,这..样的预测称为......一步线性预测......。根据线性系统原理,预测输出是输入信号的线性组合,其系数为系统响应,即卷积。预测方法为Yule....-.Walker......方程..210111010100minxxxxxxpxxxxxxppxxxxxxrrrpEenarrrparprpr由除去第一个方程外的1p个方程可以确定12,,,,pkakp,再将pka代入到第一个方程可以求得最小均方误差2minEen。由.Yule....-.Walker......方程可以知道......,只需知道输入信号的.........1p各.自相关函数.....即可确定一步线性预测器...........的系数及其最小均方误差...........。2.5卡尔曼滤波2.5.1状态方程和测量方程卡尔曼滤波使用状态空间法描述系统的,由状态方程....和测量方程....组成。卡尔曼滤波器的状态方程和测量方程:1kkkkkkkkkkxAxBwyCxDv通常情况下,kkBD都为1,因此方程变为:1kkkkkkkkxAxwyCxv改写一下:111kkkkkkkkxAxwyCxv2.5.2卡尔曼递推公式卡尔曼滤波器递推公式..........:11111''''ˆˆˆkkkkkkkkTTkkkkkkkTkkkkkkkkkxAxHyCAxHPCCPCRPAPAQPIHCP各变量的含义:,kkAC是状态方程和测量方程的系数,,kkQR分别是零均值高斯白噪声,kkwv的方差,kP是校正后状态变量的估计误差的均方值,kP'为未经校正后状态变量的估计误差均方值,kH为增益矩阵,实质上是一个加权矩阵。当给定初始条件11,,,,,,ˆkkkkkkkACQRyxP后,可以通过递推推得下一时刻的相关取值。递推初始条件......0000,varˆxExPx。通常给定xn的自相关函数xxrm或频谱xxPz,需要先通过谱分解得到信号模型Bz以及白噪声的方差2w,然后由1zBz写出差分方程,该差分方程即为状态方程,也就得到了方程中相应的参数。(1kkkkkxAxBw)2.6本章总结什么是维纳滤波?什么是卡尔曼滤波?二者有何异同?维纳滤波的求解;卡尔曼滤波的求解。
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