数字信号课件第4章

-1-数字信号处理课程组电子与信息工程学院数字信号处理及DSP技术(DigitalSignalProcessingandDSPTechnology)-2-第4章数字滤波器的基本结构4.1数字滤波器的结构特点与表示方法4.2IIR滤波器的结构4.3FIR滤波器的结构-3-4.1数字滤波器的结构特点与表示方法数字滤波实际上是一种运算过程，数字滤波器一般可以用两种方法实现：一种是用数字硬件构成专用的信号处理机；另一种是用软件来实现数字滤波器。数字滤波器是离散时间系统)()()(10inyainxbnyNiiMii(4-1)则其系统函数，即滤波器的传递函数为NiiiMiiizazbzH101)((4-2)-4-对于同一个系统函数H(z)，可实现的算法有很多种，每一种算法对应于一种不同的运算结构（网络结构）。例如：11112111211112122311)(zzzzzzzH(4-3)不同的运算结构，都可以用三种基本的运算单元：乘法器、加法器和单位延时器来实现。4.1数字滤波器的结构特点与表示方法-5-图4-1三种基本运算的流图z－1x(n)x(n－1)x(n)aax(n)x2(n)x1(n)x1(n)＋x2(n)x(n)x(n－1)x(n)x2(n)x1(n)x1(n)＋x2(n)z－1ax(n)a4.1数字滤波器的结构特点与表示方法-6-4.2IIR滤波器的结构4.2.1直接型（Ⅰ型）一个N阶的IIR滤波器的输入输出关系可以用如式（4-1）描述。01()()()MNiiiiynbxniayni系统的输出y(n)由两部分构成：第一部分是一M阶延时链结构，第二部分是一N阶延时链的反馈网络。取M=N可得其结构图如图4-2。从图上可以看出，直接Ⅰ型结构需要2N个延时器和2N+1个乘法器。-7-图4-2直接Ⅰ型结构z－1z－1z－1…bN－1bNb2b1b0x(n)x(n－1)x(n－2)x(n－N)z－1z－1z－1…aN－1aNa2a1y(n)y(n－1)y(n－2)y(n－N)…………4.2.1直接型（Ⅰ型）-8-直接Ⅱ型结构又称为正准型结构。直接Ⅰ型系统函数H(z)可看成是两个独立的系统函数的乘积。0121()()()1MiiiNiiibzHzHzHzaz4.2.2直接Ⅱ型式中MiiizbzH01)(10()()Miiynbxni211()1NiiiHzaz)()()(11nyinyanyNii整个系统的差分方程-9-设IIR数字滤波器是线性非时变系统，交换H1(z)和H2(z)级联次序不会影响系统的传输效果，即)()()()()(1221zHzHzHzHzH若M=N时，其结构如图4-3所示。输入信号x(n)先经过反馈网络H2(z)，得到中间输出变量)()()(122nxinyanyNii然后，将y2(n)通过系统H1(z)，得到系统的输出y(n))()(02inybnyMii4.2.2直接Ⅱ型-10-图4-3直接Ⅰ型的变形结构x(n)y(n)z－1z－1z－1…aN－1aNa2a1z－1z－1z－1…bN－1bNb2b1b0y2(n)y2(n－1)y2(n－2)y2(n－N)…………4.2.2直接Ⅱ型-11-直接Ⅱ型结构x(n)y(n)z－1z－1z－1…aN－1aNa2a1…bN－1bNb2b1b0………可以合并这两条延时链，得到如图4-4所示的直接Ⅱ型结构。比较图4-2和图4-4可知:直接Ⅱ型比直接Ⅰ型结构延时单元少，用硬件实现可以节省寄存器，比直接Ⅰ型经济；若用软件实现则可节省存储单元。系数对系统控制作用不明显，存在调整零、极点困难。［例4－1］用直接Ⅰ型和直接Ⅱ型结构实现系统函数：21214.06.028.02.43)(zzzzzH解：分母首系数归一化后，可得)2.03.0(14.01.25.12.03.014.01.25.1)(21212121zzzzzzzzzH直接Ⅰ型结构如图4-5所示。-12-01()1MiiiNiiibzHzaz直接Ⅰ型结构直接Ⅱ型结构-14-把H(z)的分子和分母进行因式分解，得到多个因式连乘积的形式NiiMiiNiiiMiiizdzcAzazbzH111110)1()1(1)((4-4)式中：A为常数，ci和di分别表示H(z)的零点和极点。H(z)可表示成多个实系数的二阶数字网络Hj(z)的连乘积形式:4.2.3级联型KjjzHAzH1)()(-15-式中：2211221101)(zzzzzHjjjjjj若每一个实系数的二阶数字网络的系统函数Hj(z)的网络结构均采用前面介绍的直接Ⅱ型结构，则可以得到系统函数H(z)的级联型结构，如图4-7所示。4.2.3级联型x(n)y(n)z－1z－11121112101……z－1z－11K2K1K2K0KA[例4-2]用级联型结构实现系统函数31321215.05.222)(zzzzzzH解：1231121311212112112222.50.5(10.5)(23)()12(1)(122)2310.51221()()zzzzzzHzzzzzzzzzzzzHzHz-16--17-把直接型转换为级联型就须将系统函数的分子、分母进行因式分解。随着系统阶数的增大，因式分解的难度增加，当阶数大于3时，必须借助MATLAB语言编程计算。信号处理工具箱中提供了函数tf2sos(transferfunctiontosecond-order-section)，该函数可以实现由系统函数转换为多个二阶网络的级联型式。级联型网络结构的MATLAB实现调用方式：[SOS,G]=tf2sos(b,a)。输入参数：b,a是系统函数)(zH的分子、分母多项式系数向量。输出参数：G为整个系统的归一化增益。kkkkkSOS2121022122212022111211101111二阶基本节-18-矩阵中每一行代表一个二阶网络，前三项是分子系数，后三项为分母系数。二阶网络为：2211221101)(zzzzzHiiiiiiki2,1最后得到的级联型形式：)()()()(21zHzHzGHzHk级联型网络结构的MATLAB实现解：利用前面介绍的函数编写MATLAB程序如下：clcclearallb=[2,2,-2.5,0.5];a=[1,1,0,-2];[sos,G]=tf2sos(b,a)运行结果：sos=1.0000-0.500001.0000-1.000001.00001.5000-0.50001.00002.00002.0000G=2例4.3用MATLAB编程实现例4.2中的系统函数H(Z)的级联型结构分解。12311213112112112222.50.52(10.5)(11.50.5)()12(1)(122)(10.5)(23)(1)(122)zzzzzzHzzzzzzzzzzzz和例4－2计算结果相同。-19--20-把传递函数H(z)展开成部分分式之和的形式，就可以得到滤波器的并联型结构。当N=M时，展开式为NiiiiNzdAAzHzHzHAzH102101)()()()(和级联型结构的方法类似，将上式中的共轭复根部分两两合并得到实系数的二阶网络，则有10101121112()11EFiiiiiiiiAzHzApzzz(4-6)4.2.4并联型式中,N=E+2F。-21-由上式，滤波器可由E个一阶网络、F个二阶网络和一个常数支路并联构成，其结构如图所示。并联型结构也可以单独调整极点位置，但对于零点的调整却不如级联型方便，而且当滤波器的阶数较高时，部分分式展开比较麻烦。在运算误差方面，由于各基本网络间的误差互不影响，没有误差积累，因此比直接型和级联型误差稍小一点。因为各个二阶基本节零极点并非整个系统的零极点。4.2.4并联型…x(n)11z－121z－101111Fz－12Fz－10F1F…z－1A1A0p1y(n)[例4-4]用并联型结构实现系统函数32321215.05.222)(zzzzzzH解：123231121121112222.50.5()12(10.5)(23)(1)(12)0.51.753.250.25112zzzHzzzzzzzzzzzzz-22-例题：假设系统函数如下式，画出它的并联型结构。)5.01)(5.01()264.524.14)(379.02()(211211zzzzzzzH解：上式的分子分母是因式分解形式，再写成下式:)5.01)(5.01(620816)(21121zzzzzzH上式的第二项已是真分式，可以进行因式分解。)5.01)(5.01(6208)(211211zzzzzzH)5.0()5.0()5.0)(5.0(6208)(2221zzCBzzAzzzzzzzH-24-8)5.0()(]5.0,)([sRe5.011zzzzHzzHA)5.0()5.0(8)(21zzCBzzzzH再根据等式两边同次项系数必须相等的法则确定系数B和C，得到B＝－16，C＝20)5.01(2016)5.01(8)(21111zzzzzH最后得到)5.01(2016)5.01(816)(2111zzzzzH按照上式画出系统并联结构的流图如图4.4.2所示。-26-4.3FIR滤波器的结构4.3.1直接型设FIR数字滤波器的单位脉冲响应h(n)的长度为N，其传递函数和差分方程分别为:10)()(NnnznhzH(4-7)10)()()(Nmmnxmhny(4-8)z－1x(n)h(0)h(1)z－1h(2)……h(N－3)z－1h(N－2)z－1h(N－1)y(n)图4-11FIR的直接型结构由于该结构利用输入信号x(n)和滤波器单位脉冲响应h(n)的线性卷积来描述输出信号y(n)，所以FIR滤波器的直接型结构又称为卷积型结构，有时也称为横截型结构。4.3.2级联型当需要控制系统传输零点时，将传递函数H(z)分解成二阶实系数因子的形式：4.3FIR滤波器的结构10122110)()()(NnMiiiinzazaaznhzH(4-9)x(n)y(n)z－1z－1a11a21a01……z－1z－1a12a22a02z－1z－1a1Ma2Ma0M-27-MMM例4.5设FIR函数321325.65.12)(zzzzH，试画出)(zH的直接型结构和级联型结构。解：将)(zH进行因式分解得：)325.01)(5.01(2)(211zzzzH级联型结构直接型结构-28--29-由频域采样定理可知，对有限长序列h(n)的Z变换H(z)在单位圆上做N点的等间隔采样，N个频率采样值的离散傅里叶反变换所对应的时域信号hN(n)是原序列h(n)以采样点数N为周期进行周期延拓的结果，当N大于等于原序列h(n)长度M时hN(n)=h(n)，不会发生信号失真，此时H(z)可以用频域采样序列H(k)内插得到，内插公式如下：1011)(1)1()(NkkNNzWkHNzzH(