数字信号课件第一章

-1-数字信号处理课程组电子与信息工程学院数字信号处理及DSP技术(DigitalSignalProcessingandDSPTechnology)-2-本章作业1.1；1.3(1)、(3)、(4)；1.10；1.19；1.24(1);1.33(1);1.34(3)仅用部分分式展开法；1.44(1)；1.48(1)、(2)、(3)；1.52;1.66-3-第1章离散时间信号与系统1.1离散时间信号——序列1.2连续时间信号的采样1.3离散时间系统时域分析1.4Z变换1.5拉氏变换、傅氏变换与Z变换1.6离散时间系统的频域分析（ω域和Ζ域）-4-1.1离散时间信号—序列离散时间信号是时间上不连续的一个序列。表示x(n)或{x(n)}。纵轴线段的长短代表各序列值的大小。－5－4x(－5)x(－4)x(－3)－3－2－10123456nx(4)x(5)x(6)x(3)x(2)x(1)x(0)x(n)x(－2)x(－1)离散时间信号常常可以对模拟信号(如语音)进行等间隔采样而得到。)()(nTxnxa-5-)()(mnxnw当m为正时，右移m位;当m为负时，左移m位。－5－4x(－5)x(－4)x(－3)－3－2－10123456nx(4)x(5)x(6)x(3)x(2)x(1)x(0)x(n)x(－2)x(－1)n876543201－1－2－3－5－4w(n)＝x(n－2)序列移位前序列移位后1．序列的移位序列的运算-6-x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻褶。2.序列的翻褶nnx(n)－6－5－4－3－2－1012345x(－n)－5－4－3－2－10123456(a)(b)序列的运算3.序列的和)()()(nynxnz4.序列的乘积)()()(nynxnf-7-6．累加nkkxny)()(7．差分运算前向差分Δx(n)=x(n+1)-x(n)后向差分▽x(n)=x(n)-x(n-1)由此得出▽x(n)=Δx(n-1)5．序列的标乘)()(ncxnf序列的运算-8-1．单位脉冲序列δ(n)0001)(nnn序列只在n=0处有一个单位值1，其余点上皆为0，因此也称为“单位采样序列”。类似于单位冲激函数δ(t)。但是δ(t)是t=0点脉宽趋于零，幅值趋于无限大，面积为1的信号，是极限概念的信号，并非任何现实的信号。而δ(n)却完全是一个现实的序列，它的脉冲幅度是1，是一个有限值。几种常用序列1(n)－4－5－3－2－1012345n……-9-2．单位阶跃序列u(n)0001)(nnnu－5－4－3－2－1012345nu(n)…16()()(1)nunun0()()()(1)(2)munnmnnn令n-m=k，代入此式可得()()nkunk几种常用序列-10-3．矩形序列RN(n)nNnnRN其他0101)(…nRN(n)1－10123NN－1RN(n)和δ(n)、u(n)的关系为:()()()NRnununN10()()()(1)[(1)]NNmRnnmnnnN4．实指数序列)()(nuanxn当|a|1时，序列是收敛的;当|a|1时，序列是发散的;a为负数时，序列是摆动的。几种常用序列-11-…012345－1nanu(n)|a|＜1anu(n)|a|＞1012345－1nanu(n)0－1n12345……a＝－|a|5．正弦型序列x(n)=Asin(nω0+φ)sin(n0)1－1noω单位是弧度(rad)，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。ω0=0.1π时,该序列值每20个重复一次循环。几种常用序列-12-序列值为复数的序列称为复指数序列。复指数序列的每个值具有实部和虚部两部分。0()()jnxnAe或0()jnxnAe对第二种表示，序列的实部、虚部分别为6．复指数序列njAnAnjnAnx0000sincos)sin(cos)(如果用极坐标表示，则njnxjAeenxnx0)](arg[|)(|)(因此有：0|()|arg[()]xnAxnn几种常用序列-13-如果存在一个最小的正整数N，满足()()xnxnN则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。由于)sin()(0nAnx则)sin(])[sin()(000nNANnANnx序列的周期性若Nω0=2πk,当k为正整数时，则)()(Nnxnx周期性序列（1）当2π/ω0为正整数时，周期为2π/ω0。（2）当2π/ω0不是整数，是有理数。kN02k,N为互素的整数，则为最小正整数，序列的周期为N。k02当ω0从0增加到时，余弦序列幅度的变化将会逐渐加快x[n]=cosω0n,ω0=0010203040-101x[n]=cosω0n,ω0=0.2010203040-101010203040-101x[n]=cosω0n,ω0=0.8010203040-101x[n]=cosω0n,ω0=-15-（3）当2π/ω0是无理数时，则任何k皆不能使N取正整数。这时，正弦序列不是周期性的。这和连续信号是不一样的。问题：一个正弦型序列是由一个连续信号采样而得到的，那么，采样间隔T和连续正弦信号的周期之间应该是什么关系才能使所得到的采样序列仍然是周期序列呢？)sin()(0tAtxa信号的频率为f0，角频率Ω0=2πf0，信号的周期为T0=1/f0=2π/Ω00()()|sin()tnTxnxtAnT采样ssfffT000021)sin()(0nAnx序列的周期性2π/ω0与T及T0的关系000001112222ffTTTTT若2π/ω0为整数，连续正弦信号的周期T0应为采样间隔T的整数倍；若2π/ω0为有理数，就表示T0与T是互为互素的整数，且有TTkN0020NTkT即N个采样间隔应等于k个连续正弦信号的周期。00052212,=5-(n)2sin, (n)65/6521=62125xNkxnk解:该序列的数字域频率为为有理数，因此，为例11分析其周周期序列。周期取最小期性。正整数，其周期则序列的周期性-16--17-)()()(mnmxnxm1.1.4用单位采样序列来表示任意序列()2()3(1)(2)(3)xnnnnn1.1.5序列的能量nnxE2|)(|离散时间信号——序列序列x(n)的能量E定义为序列各采样样本的平方和，即连续时间信号的采样采样器可以看成是一个电子开关，这个过程可以把它看作是一个脉冲调幅过程。被调制的脉冲载波是一串周期为T、宽度为τ的矩形脉冲信号。()()()paxtxtptxa(t)ot(a)(b)xa(t))(ˆatxTp(t)tttt(c)(e)(d)(f)s(t)xp(t))(ˆatxooooT1T-18--19-理想采样就是τ→0的极限情况。此时，采样脉冲序列p(t)变成冲激函数序列s(t)。)()(nTttsn理想采样)()()(ˆtstxtxaaˆ()()()()()aaannxtxttnTxnTtnT1ˆ()()()2aaXjXjSj现在来求S(jΩ)=F[s(t)]。由于s(t)是以采样频率重复的冲激脉冲，因此是一个周期函数，可表示为傅里叶级数，即()sjktkkasteTfs1ssfT22/2/2/2/2/2/211()()1()1sssTTjktjkktTTnTjktTstedttnTedtTTtedtaTT考虑|t|≤T/2的积分区间内，只有一个冲激脉冲δ(t)，且利用了dtttff)()()0(因而1()sjktksteTktjkktjksseFTeTFtsFjS11)]([)()(2][sjkkeFskssskkkTjS)()(2)(理想采样频移定理-20--21-dkjXTdkjXTjXkTjXsakksakasa)()(1)()(1)()(221)(ˆ1ˆ()()aaskXjXjjkT或者12ˆ()aakXjXjjkTT采样后，其频谱将沿着频率轴以采样频率Ωs=2π/T为间隔而重复，频谱产生了周期性延拓，频谱的幅度则受1/T加权。2||02||)()(ssaajXjX理想采样()/2,aSxt若是限带信号，最高频谱不超过则可恢复出原信号。-22-Xa(j)o－ss2sS(j)－sos2s－sos2s)j(ˆaX)j(ˆaX(a)(b)(c)(d)－sos2s………………2T2T采用一个截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器，就可还原出原来的连续信号。理想采样-23-如果信号的最高频谱Ωh超过Ωs/2，则各周期延拓分量产生频谱的交叠，称为混叠现象。将采样频率之半（Ωs/2）称为折叠频率，即Ts2余弦信号采样频谱混叠的情况ttxa0cos)(在没有混叠时，输出ya(t)为在有混叠时，则是ttya0cos)(ttysa)cos()(0理想采样-24-图1-12一个余弦信号采样中的混叠效果Xa(j)ππ－0o0)j(ˆaX－0o0－s2ss)j(ˆaX－0o0－s2ss(c)(b)(a)2s0＜T2s0＞TTT-25-－00Ya(j)Ya(j)－(s－0)ππππ混叠无混叠(e)(d)0＞T0＜Toos－0图1-12一个余弦信号采样中的混叠效果-26-结论：要想采样后能够不失真地还原出原信号，则采样频率必须大于两倍信号谱的最高频率（Ωs2Ωh），这就是奈奎斯特采样定理。即fs2fh频率Ωh一般称为奈奎斯特频率，而频率2Ωh称为奈奎斯特率。在实际工作中，采样频率选到(3～4)Ωh。同时采样器前加入一个保护性的前置低通滤波器，称为防混叠滤波器，其截止频率为Ωs/2，以便滤除掉高于Ωs/2的频率分量。理想采样-27-如果满足奈奎斯特定理，即模拟信号谱的最高频率小于折叠频率2||02||)()(ssaajXjX则采样后不会产生频谱混叠1ˆ()()||2saaXjXjT故将通过一个理想低通滤波器，这个理想低通滤波器只让基带频谱通过。H(j)h(t)H(j)Ts/2)(ˆatxy(t)＝xa(t)o)(ˆjXa2||02||)(ssTjH采样的恢复-28-采样信号通过这个滤波器后，就可滤出原模拟信号的频谱)()()(ˆ)(jXjHjXjYaaa)()(txtyaa/2/21()()22sin(/2)sin(/)/2/ssjtjtssThtHjededttTttT理想低通滤波器的冲激响应为由与h(t)的卷积积分，即得理想低通滤波器的输出为ˆ()axt由采样信号序列重构带限信号利用欧拉公式及2ST-29-ˆ()()()()()()()()aaananxhtdxhtnTdytxnThtnT这里h(t-nT)称为内插函数：Tn