新利息理论教案第3章

1第3章：变额年金本课程第2章讨论的都是等额支付的年金问题。本章将讨论年金不相等的情况。如果每次支付的金额没有任何变化规律，那么只好分别计算每次付款的现值与终值，然后将其相加求得年金的现值与终值。但某些变额年金仍然是有规律可循的，本节将讨论这方面的年金。第3.1节：递增年金本节内容：3.1.1期末付递增年金假设第一期末支付1元，第二期末支付2元，…，第n期末支付n元，那么这项年金就是按算术级数递增的。一、年金现值()nIa如果用()nIa表示其现值，则有2323...()nnvvvnvIa（1）公式推导过程：上式两边同乘（1+i）21(1)123...()nnivvnvIa用第二式减去第一式231(1...)()nnnivvvvnvIannnva所以：()nIannnvia（2）公式的另一种推导思路（略）二、年金终值()nIs1(1)(1)()()nnnnnsnsniIaiiIs三、例题例1、一项20年期的递增年金，在第1年末支付65元，第2年末支付70元，第3年末支付75元，以此类推，最后一次支付发生在第20年末，假设年实际利率为6%，求此项年金在时刻零的现值。解：最后一次支付的金额应该为65195160元。将此年金分解成一项每2年末支付60元的等额年金和一项第1年末支付5，每年递增5元的递增年金。这时：上述年金的现值为：202051181.70()60Iaa例2、一项递增年金，第1年末支付300元，第2年末支付320元，第3年末支付340元，以此类推，直到最后一次支付600元，假设年实际利率为5%，试计算此项年金在最后一次支付时刻的终值。解：支付金额每次递增20元，因为6003001520，所以一共支付了16次。最后一次支付发生在第16年末。将此年金分解成一项每年末支付280元的等额年金和一项第1年末支付20，每年递增20元的递增年金。这时：上述年金的终值为：16162010160.25()280Iss3.1.2期初付递增年金假设第一期初支付1元，第二期初支付2元，…，第n期初支付n元，那么这项年金就是按算术级数递增的。一、年金现值如果用()nIa表示其年金现值，则有()nIa(1)()nnnnviIada二、年金终值如果用()nIs表示年金现值，则有1(1)(1)()()nnnnsnsniIsddIs三、永续年金当n趋于无穷大时：()Ia111(1)diii()Ia2211(1)di四、例题1、确定期末付永续年金的现值，每次付款为1、2、3、…。设实际利率为i=5%。解：()Ia111(1)diii=4203本节重点：年金现值()nIa的计算公式。本节难点：年金现值()nIa的公式推导。第3.2节：递减年金本节内容：3.2.1期末付递减年金假设第一期末支付n元，第二期末支付n-1元，…，第n期末支付1元，那么这项年金就是按算术级数递减的。一、年金现值()nDa如果用()nDa表示其现值，则有23(1)(2)...()nnnvnvnvnDa（1）公式推导过程：上式两边同乘（1+i）21(1)(1)(2)...()nninnvnvvDa用第二式减去第一式23(...)()nnninvvvvnaDa所以：()nDannai（2）公式的另一种推导思路（略）二、年金终值()nDs(1)(1)()()nnnnnnisiDaiDs3.2.2期初付递减年金假设第一期初支付n元，第二期初支付n-1元，…，第n期初支付1元，那么这项年金就是按算术级数递减的。一、公式41、如果用()nDa表示其年金现值，则有()nDa(1)()nnnaiDad2、如果用()nDs表示年金现值，则有(1)(1)()()nnnnnisiDsdDs说明：递减年金不存在永续年金的情况。二、例题本节重点：年金现值()nDa和()nDa的计算公式。本节难点：年金现值()nDa公式的证明。第3.3节：付款金额按几何级数变化的年金（复递增年金）本节内容：3.3.1期末付复递增年金假设第一年末付款1元，第二年末付款(1+r)元，第三年末付款2(1)r元,…，第n年末付款1(1)nr元，那么这项年金就是按几何级数增长，其中(1)0r。当r0时，年金为递增的，当r0时，年金为递减的。1、如果用A表示其年金现值，则有A11()1nriir（推导过程略）2、如果用S表示年金终值，则有11()(1)(1)1(1)[]nnnnririSiirir3.3.2期初付复递增年金假设第一年初付款1元，第二年初付款(1+r)元，第三年初付款2(1)r元,…，5第n年初付款1(1)nr元，那么这项年金就是按几何级数增长，其中(1)0r。当r0时，年金为递增的，当r0时，年金为递减的。1、如果用A表示其年金现值，则有A11()1(1)nriiir2、如果用S表示年金终值，则有(1)(1)(1)nnirSiir3、关于永续年金在A11()1nriir中，当ri时极限存在，永续年金的现值为1ir；当ri时极限不存在。4、例题例1、20年期末付年金，首次付款1000元，以后每年递增4%，如果年利率为7%，计算年金现值。解：i=7%，r=4%现值1011()11000riir=14459元本节重点：A11()1nriir。本节难点：A11()1nriir的推导。第3.4节：每年支付m次的变额年金本节讨论的年金属于广义变额年金。本节内容：本部分内容以期末付为例进行分析本部分为确定年金中最复杂的情况，主要以下述年金为例说明。假设利息结6转周期为n，每个利息结转周期支付款项m次，那么总的付款次数为mn。如果每个利息结转周期支付款项m次，付款又是逐期递增的，在第一个利息结转周期末支付1/m元，在第二个利息结转周期末支付2/m元，…，在第n个利息结转周期末支付n/m元。下面分两种情况讨论：一、在同一个利息结转周期内付款相同，但后一个利息结转周期比前一个利息结转周期每次多付1/m元。这样在第一个利息结转周期内每次付款1/m元，在第二个利息结转周期内每次付款2/m元，…，在第n个利息结转周期内每次付款n/m元。年金现值记为()mnIa。可以推导出计算公式。1、()211(123..)()mmnnavvnvIa()nnmanvi同里也可以推出终值的计算公式。2、例题二、在同一个利息结转周期内付款也是逐期递增。为了保证在第一个利息结转周期末付款1/m元，在第二个利息结转周期末付款2/m元，…，在第n个利息结转周期末付款n/m元，假设第一次付款21m元，第二次付款22m元，第三次付款23m元，…，第mn次付款2mnnmm元。年金现值记为()()mnmIa。可以推导出计算公式。1、()()()()mnmnmnanvmiIa2、例题本节重点：递增年金的计算公式。本节难点：()()()()mnmnmnanvmiIa的推导。第3.5节：连续支付的变额年金本节内容：3.5.1连续支付的变额年金一、连续支付的递增年金71、现值()nnnnvaIa2、终值()nnnsIs3、永续年金现值1()dIa二、连续支付的递减年金1、现值()nnnaDa2、终值(1)()nnnnisDs3.5.2连续支付连续递增的年金一、由()()()()mnmnmnanvmiIa推出()nIa公式二、()nIa公式的直接推导3.5.3连续支付连续递减的年金（略）3.5.4一般连续变额年金一、现值00exp[]nttsPVdsdt二、终值0exp[]nntstFVdsdt本节重点：连续变额年金公式的推导。本节难点：8一般连续变额年金现值的表示。第3.6节：年金问题的案例一、固定养老金计划1.一般情景责任：退休前时，每月初存入一定的金额，具体方式为，25-29岁，月付x1元；30-39岁，月付x2元；40-49岁，月付x3元；50-59岁，月付x4元。权益：从60岁（退休）开始每月初领取p元，一直进行20年。问题：在给定年利率i情况下，分析x1、x2、x3、x4与p的关系。2.（1）假设某人25岁参加保险，则基本价值方程为(12)(12)30(12)2012205101212(1)12(1)paxsixsi(12)10(12)34101012(1)12xsixs于是，12132433530201020()()()xxxxxxxpssssa若i=10%，x1=200元，x2=300元，x3=500元，x4=1000元。353020102022510580.48pssssa（2）如果从30岁开始加入，则302010203251008077.89psssa（3）如果从40岁开始加入，则2010205004299.73pssa二、购房分期付款某人采用贷款方式购房。已知房价为50万元，首付比例为30%，贷款的年实际利率为8%。若每月底等额付款。求相应贷款期为五年，八、十年时的月还款额。解：12(1)12nkpRa计算出)12(i=7.7208%。9五年期：月付款额7050.05元八年期：月付款额4898.33元。十年期：月付款额4194.98元三、汽车零售某汽车商计划采用如下零售策略：（1）若一次付清款项，价格为10万元；（2）以年利率提供8%给4年分期贷款（每月末付款）。已知当前市场上商业消费贷款的月度结转名义利率为12%，试分析第2种销售策略的当前成本（第2种付款的现值）。解：在8%的年实际利率下，月度付款100000/（12124a）=2428.2（元）；按12%当前利率计算上述月付款的当前价值为：2428.248a=92209.6（元）当前成本为100000-92209.6=7790。