运筹学(胡运权版)第三章运输问题课后习题答案

1P66：8.某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点出售，各工厂A1，A2，A3的生产量、各销售点B1，B2，B3，B4的销售量（假定单位为t）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t）示于下表中，问如何调运才能使总运费最小？表销地产地B1B2B3B4产量A141241116A22103910A38511622销量814121448解：一、该运输问题的数学模型为：可以证明：约束矩阵的秩为r(A)=6.从而基变量的个数为6.34333231242322213141141312116115893102114124minxxxxxxxxxxxxxczijijij4,3,2,1;3,2,1,01412148221016342414332313322212312111343332312423222114131211jixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxij111213142122232431323334xxxxxxxxxxxx7121111111111111111111111112二、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案）1.最小元素法思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。销地产地B1B2B3B4产量A141241116A282103910A38511622销量814121448销地产地B1B2B3B4产量A141241116A282103910A38511622销量814101448销地产地B1B2B3B4产量A141210411166A282103910A38511622销量81410144882①82②①82②①10③3销地产地B1B2B3B4产量A141210411166A282103910A38145116228销量814101448销地产地B1B2B3B4产量A141210411166A282103910A381451186220销量8141014648销地产地B1B2B3B4产量A1412104611160A2821039100A381451186220销量8141014048此时得到一个初始调运方案（初始可行解）：其余（非基）变量全等于零。此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6（等于m+n-1=3+4-1=6).总运费为（目标函数值）82②①10③14④82②①10③14④⑤82②①10③14④⑤⑥⑥,1013x,821x,223x,1432x,834x,614x3141ijijijxcZ42.伏格尔（Vogel)法伏格尔法的基本思想：运输表中各行各列的最小运价与次小运价之差值（罚数）应尽可能地小。或者说：优先供应罚数最大行（或列）中最小运费的方格，以避免将运量分配到该行（或该列）次小运距的方格中。销地产地B1B2B3B4产量行差额A1412411160A221039101A385116221销量814121448列差额2513销地产地B1B2B3B4产量行差额A1412411160A221039101A38145116221→2销量814121448列差额2513销地产地B1B2B3B4产量行差额A1412411160A221039101A381451186221销量814121448列差额251324668514322811641014①814①0②5销地产地B1B2B3B4产量行差额A1412411160A28210391021A381451186221销量814121448列差额2513销地产地B1B2B3B4产量行差额A1412124111647A282103291006A381451186221销量814121448列差额2513销地产地B1B2B3B4产量行差额A14121244111607A282103291006A381451186221销量8141214048列差额2513此时得到一个初始调运方案（初始可行解）：x13=12,x14=4,x21=8,x24=2,x32=14,x34=8其余（非基）变量全等于零。此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6（等于m+n-1=3+4-1=6)。总运费为（目标函数值）：14①0②8③14①0②8③12④⑤14①0②8③12④⑤⑥3141ijijijxcZ2446851492281144126三、解的最优性检验⒈闭回路法（以下的闭回路都是顺时针方向）看非基变量的检验数是否满足：（1）首先对用最小元素法所确定的初始基本可行解进行检验。参见前面的计算结果，可知非基变量分别为：x11，x12，x22，x24，x31，x33。销地产地B1B2B3B4产量A1X1141210461116A2821023910A38145118622销量814121448σ11=C11+C23-(C13+C21)=4+3–(4+2)=1销地产地B1B2B3B4产量A14X121210461116A2821023910A38145118622销量814121448σ12=C12+C34-(C14+C32)=12+6–(11+5)=2销地产地B1B2B3B4产量A141210461116A282X221023910A38145118622销量814121448σ22=C22+C13+C34-(C23+C14+C32)=10+4+6–(3+11+5)=20–19=1.0ij7销地产地B1B2B3B4产量A1X1141210461116A2821023X24910A38145118622销量814121448σ24=C24+C13-(C14+C23)=9+4–(11+3)=-1销地产地B1B2B3B4产量A141210461116A2821023910A3X318145118622销量814121448σ31=C31+C14+C23-(C34+C13+C21)=8+11+3–(6+4+2)=22–12=10销地产地B1B2B3B4产量A141210461116A2821023910A38145X33118622销量814121448σ33=C33+C14-(C13+C34)=11+11–(4+6)=12由于σ24=C24+C13-(C14+C23)=9+4–(11+3)=-10，所以当前方案不是最优方案。8（2）然后对用伏格尔法所确定的初始基本可行解进行检验。参见前面的计算结果，可知非基变量分别为：x11，x12，x22，x23，x31，x33。（伏格尔法）销地产地B1B2B3B4产量A1X1141212441116A2821032910A38145118622销量814121448σ11=C11+C24-(C14+C21)=4+9–(11+2)=0销地产地B1B2B3B4产量A14X121212441116A2821032910A38145118622销量814121448σ12=C12+C34-(C14+C31)=12+6–(11+5)=2销地产地B1B2B3B4产量A141212441116A282X221032910A38145118622销量814121448σ22=C22+C34-(C24+C32)=10+6–(9+5)=16–14=2销地产地B1B2B3B4产量A141212441116A28210X2332910A38145118622销量814121448σ23=C23+C14-(C13+C24)=3+11–(4+9)=14-13=19销地产地B1B2B3B4产量A141212441116A2821032910A3X318145118622销量814121448σ31=C31+C24-(C21+C34)=8+9–(2+6)=17-8=9销地产地B1B2B3B4产量A141212441116A2821032910A38145X33118622销量814121448σ33=C33+C14-(C13+C34)=11+11–(4+6)=22-10=12由于所有非基变量的检验数都大于零，说明当前方案是最优方案，最优解为：x11=12，x14=4，x21=8，x24=2，x32=14，x34=8。2位势法（1）首先对用最小元素法所确定的初始基本可行解进行检验。参见前面的计算结果，可知基变量分别为：x13，x14，x21，x23，x32，x34。销地产地B1B2B3B4产量A141210461116A2821023910A38145118622销量814121448构造方程组：u1+v3=c13=4u1+v4=c14=11u2+v1=c21=2u2+v3=c23=3u3+v2=c32=510u3+v4=c34=6令自由变量u1=0，将其代入方程组，得：u1=0，v3=4，v4=11，u3=-5，v2=10，u2=-1，v1=3，将其代入非基变量检验数：σij=Cij-(ui+vj)，得：σ11=C11-(u1+v1)=4–(0+3)=1σ12=C12-(u1+v2)=12–(0+10)=2σ22=C22-(u2+v2)=10–(-1+10)=1σ24=C24-(u2+v4)=9–(-1+11)=-1σ31=C31-(u3+v1)=8–(-5+3)=10σ33=C33-(u3+v3)=11–(-5+4)=12与闭回路法计算的结果相同。（2）然后对用伏格尔法所确定的初始基本可行解进行检验。参见前面的计算结果，可知基变量分别为：x13，x14，x21，x24，x32，x34。销地产地B1B2B3B4产量A141212441116A2821032910A38145118622销量814121448构造方程组：u1+v3=c13=4u1+v4=c14=11u2+v1=c21=2u2+v4=c24=9u3+v2=c32=5u3+v4=c34=6令自由变量u1=0，将其代入方程组，得：u1=0，v3=4，v4=11，u3=-5，v2=10，u2=-2，v1=4，将其代入非基变量检验数：σij=Cij-(ui+vj)，得：σ11=C11-(u1+v1)=4–(0+4)=0σ12=C12-(u1+v2)=12–(0+10)=2σ22=C22-(u2+v2)=10–(-2+10)=2σ23=C23-(u2+v3)=3–(-2+4)=-1σ31=C31-(u3+v1)=8–(-5+4)=9σ33=C33-(u3+v3)=11–(-5+4)=12与闭回路法计算的结果相同。11四、解的改进（用闭回路法调整）在使用最小元素法求得的初始方案中，由于σ240，说明当前方案不是最优，需要改进或调整。见表1中非基变量x24所在的闭回路，调整量为ε=min{2,6}=2。调整过程见表2：表1销地产地B1B2B3B4产量A141210461116A2821023910A38145118622表2销地产地B1B2B3B4产量A141210+246-21116A282102-230+2910A38145118622表3销地产地B1B2B3B4产量A141212441116A2821032910A38145118622调整后的结果如表3所示，此结果正好与使用伏格尔法求得的结果相同，因此最优性检验过程同前，由于非基变量的检验系数都大于等于零，因此该方案是最优方案，最优解为：x13=12，x14=4，x21=8，x24=2，x32=14，x34=8。将最优解代入到目标函数中，得总运费为（目标函数值）：3141maxijijijxcZ24468514922811441212P66：9.解：首先列出这一问题的产销平衡表，见表1。表1销地产地B1B2B3B4产量A1A2A3317119432101085749销量3656一、该运输问题的数学模型为：可以证明：约束矩阵的秩为r(A)=