必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题

1必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题(数学教研组)一、知识点总结1．正弦定理:2sinsinsinabcRABC（R:外接圆半径）或变形：::sin:sin:sinabcABC.结论：①定理：在三角形中，α、β为其内角，则α≤βsinsin，等号当且当α=β时成立。②判断三角形大小关系时，可以利用如下原理：sinA＞sinBA＞Ba＞bcoscosABABab③三角形的面积公式：S＝21absinC＝21bcsinA＝21acsinB2．余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcbabaC或222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacbacCab.3．利用正弦定理和余弦定理分别能解决的问题：（1）正弦定理：1、已知两角和一边（如A、B、c），由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b.(ASA或AAS)2、已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况.(SSA)（2）余弦定理：1、已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C=π，求角C.(SSS)2、已知两边和夹角（如a、b、C），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=π，求另一角.(SAS)主流思想：利用正、余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．三角形中的基本关系：sin()sin,ABCcos()cos,ABCtan()tan,ABCsincos,cossin,tancot222222ABCABCABC6.求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。2习题练习解三角形[A组]一、选择题1．在△ABC中，若Babsin2，则A等于（D）A．006030或B．006045或C．0060120或D．0015030或2．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（B）A．090B．0120C．0135D．0150二、填空题3．在△ABC中，若Acbcba则,222___0120___。4．在△ABC中，若aCBb则,135,30,20026。三、解答题5．在△ABC中，设,3,2CAbca求Bsin的值。解：∵2,acb∴sinsin2sinACB，即2sincos4sincos2222ACACBB，∴13sincos2224BAC，而0,22B∴13cos24B，∴313sin2sincos22244BBB839解三角形[B组]一、选择题1．在△ABC中，::1:2:3ABC，则::abc等于（C）A．1:2:3B．3:2:1C．1:3:2D．2:3:1二、填空题2．若在△ABC中，060,1,3,ABCAbS则CBAcbasinsinsin=（3392）3．在△ABC中，若,12,10,9cba则△ABC的形状是锐角三角形。4．在△ABC中，若Acba则226,2,3060。5．在锐角△ABC中，若2,3ab，则边长c的取值范围是(5,13)。三、解答题6.在△ABC中，0120,,21,3ABCAcbaS，求cb,。3解：1sin3,4,2ABCSbcAbc2222cos,5abcbcAbc，而cb所以4,1cb7.在△ABC中，若223coscos222CAbac，求证：2acb。证明：∵223coscos222CAbac∴1cos1cos3sinsinsin222CABAC即sinsincossinsincos3sinAACCCAB∴sinsinsin()3sinACACB即sinsin2sinACB，∴2acb解三角形[C组]一、选择题1．A为△ABC的内角，则AAcossin的取值范围是（C）A．)2,2(B．)2,2(C．]2,1(D．]2,2[2．在△ABC中，若8,3,7cba，则其面积等于（D）A．12B．221C．28D．363．在△ABC中，若)())((cbbcaca，则A（C）A．090B．060C．0120D．01504．在△ABC中，若22tantanbaBA，则△ABC的形状是（B）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形二、解答题5.如果△ABC内接于半径为R的圆，且,sin)2()sin(sin222BbaCAR求△ABC的面积的最大值。解：2sinsin2sinsin(2)sin,RAARCCabB222sinsin(2)sin,2,aAcCabBacabb222222022,cos,4522abcabcabCCab42222,2sin2,22,sincRcRCRabRabC22222222,22RRabababab21222sin,24422RSabCab2max212RS另法：122sin2sin2sin244SabCabRARB222sin2sin2sinsin4RARBRAB212[cos()cos()]2RABAB22122[cos()]2222(1)22RABR2max212SR此时AB取得等号6.已知△ABC的三边cba且2,2CAbca，求::abc。解：sinsin2sin,2sincos4sincos2222ACACACACACB12147sincos,cos,sin2sincos222424224BACBBBB3,,,24242BBACACBAC33371sinsin()sincoscossin4444ABBB71sinsin()sincoscossin4444CBBB::sin:sin:sinabcABC)77(:7:)77(7.在△ABC中，若()()3abcabcac，且tantan33AC，AB边上的高为43，求角,,ABC的大小与边,,abc的长。5解：22201()()3,,cos,602abcabcacacbacBBtantan33tan(),3,1tantan1tantanACACACACtantan23AC，联合tantan33AC得tan1tan23tan1tan23AACC或，即000075454575AACC或当0075,45AC时，434(326),8(31),8sinbcaA当0045,75AC时，4346,4(31),8sinbcaA∴当00075,60,45ABC时，8,4(326),8(31),abc当00045,60,75ABC时，8,46,4(31)abc。解三角形[D组]1.在ABC中，sincosAA22，AC2，3AB，求Atan的值和ABC的面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。.21)45cos(,22)45cos(2cossinAAAA又0180A,4560,105.AA13tantan(4560)2313A,.46260sin45cos60cos45sin)6045sin(105sinsinASACABAABC1212232643426sin()。解法二：由sincosAA计算它的对偶关系式sincosAA的值。sincosAA22①621(sincos)212sincos20180,sin0,cos0.1(sin2)2AAAAAAAA另解23cossin21)cos(sin2AAAA,sincosAA62②①+②得sinA264。①－②得cosA264。从而sin264tan23cos426AAA。2.（2010上海文数18.）若△ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC，则△ABC（C）（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.3.（2010天津理数7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若223abbc，sin23sinCB，则A=(A)（A）030（B）060（C）0120（D）01504.（2010湖北理数）3.在ABC中，a=15,b=10,A=60°，则cosB=(D)A－223B223C－63D635.（2010广东理数）11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3,A+C=2B,则sinC=1。6.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知222acb，且sincos3cossin,ACAC求b7.（2009四川卷文）在ABC中，AB、为锐角，角ABC、、所对的边分别为abc、、，且510sin,sin510AB.（I）求AB的值；（II）若21ab，求abc、、的值。7解（I）∵AB、为锐角，510sin,sin510AB∴2225310cos1sin,cos1sin510AABB253105102cos()coscossinsin.5105102ABABAB∵0AB,∴4AB（II）由（I）知34C，∴2sin2C由sinsinsinabcABC得5102abc，即2,5abcb又∵21ab∴221bb∴1b∴2,5ac8.（2010辽宁文数17）（本小题满分12分）在ABC中，abc、、分别为内角ABC、、的对边，且2sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinsin1BC，试判断ABC的形状.解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得cbcbcba)2()2(22即bccba222由余弦定理得Abccbacos2222故120,21cosAA（Ⅱ）由（Ⅰ）得.sinsinsinsinsin222CBCBA又1sinsinCB，得21sinsinCB因为900,900CB，故BC所以ABC是等腰的钝角三角形。9.（2010辽宁理数）（17）（本小题满分12分）在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2sin(2)sin(2)sin.aAacBcbC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinsinBC的最大值.8解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)abcbcbc即222abcbc由余弦定理得2222cosabcbcA故1cos2A，A=120°……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinsinsinsin(60)BCBB31cossin22sin(60)BBB故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。