您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 临时分类 > 必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题
1必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题(数学教研组)一、知识点总结1.正弦定理:2sinsinsinabcRABC(R:外接圆半径)或变形:::sin:sin:sinabcABC.结论:①定理:在三角形中,α、β为其内角,则α≤βsinsin,等号当且当α=β时成立。②判断三角形大小关系时,可以利用如下原理:sinA>sinBA>Ba>bcoscosABABab③三角形的面积公式:S=21absinC=21bcsinA=21acsinB2.余弦定理:2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcbabaC或222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacbacCab.3.利用正弦定理和余弦定理分别能解决的问题:(1)正弦定理:1、已知两角和一边(如A、B、c),由A+B+C=π求C,由正弦定理求a、b.(ASA或AAS)2、已知两边和其中一边的对角(如a、b、A),应用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c边,要注意解可能有多种情况.(SSA)(2)余弦定理:1、已知三边a、b、c,应余弦定理求A、B,再由A+B+C=π,求角C.(SSS)2、已知两边和夹角(如a、b、C),应用余弦定理求c边;再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=π,求另一角.(SAS)主流思想:利用正、余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式.5.三角形中的基本关系:sin()sin,ABCcos()cos,ABCtan()tan,ABCsincos,cossin,tancot222222ABCABCABC6.求解三角形应用题的一般步骤:(1)分析:分析题意,弄清已知和所求;(2)建模:将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求,并画出示意图;(3)求解:正确运用正、余弦定理求解;(4)检验:检验上述所求是否符合实际意义。2习题练习解三角形[A组]一、选择题1.在△ABC中,若Babsin2,则A等于(D)A.006030或B.006045或C.0060120或D.0015030或2.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是(B)A.090B.0120C.0135D.0150二、填空题3.在△ABC中,若Acbcba则,222___0120___。4.在△ABC中,若aCBb则,135,30,20026。三、解答题5.在△ABC中,设,3,2CAbca求Bsin的值。解:∵2,acb∴sinsin2sinACB,即2sincos4sincos2222ACACBB,∴13sincos2224BAC,而0,22B∴13cos24B,∴313sin2sincos22244BBB839解三角形[B组]一、选择题1.在△ABC中,::1:2:3ABC,则::abc等于(C)A.1:2:3B.3:2:1C.1:3:2D.2:3:1二、填空题2.若在△ABC中,060,1,3,ABCAbS则CBAcbasinsinsin=(3392)3.在△ABC中,若,12,10,9cba则△ABC的形状是锐角三角形。4.在△ABC中,若Acba则226,2,3060。5.在锐角△ABC中,若2,3ab,则边长c的取值范围是(5,13)。三、解答题6.在△ABC中,0120,,21,3ABCAcbaS,求cb,。3解:1sin3,4,2ABCSbcAbc2222cos,5abcbcAbc,而cb所以4,1cb7.在△ABC中,若223coscos222CAbac,求证:2acb。证明:∵223coscos222CAbac∴1cos1cos3sinsinsin222CABAC即sinsincossinsincos3sinAACCCAB∴sinsinsin()3sinACACB即sinsin2sinACB,∴2acb解三角形[C组]一、选择题1.A为△ABC的内角,则AAcossin的取值范围是(C)A.)2,2(B.)2,2(C.]2,1(D.]2,2[2.在△ABC中,若8,3,7cba,则其面积等于(D)A.12B.221C.28D.363.在△ABC中,若)())((cbbcaca,则A(C)A.090B.060C.0120D.01504.在△ABC中,若22tantanbaBA,则△ABC的形状是(B)A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.不能确定D.等腰三角形二、解答题5.如果△ABC内接于半径为R的圆,且,sin)2()sin(sin222BbaCAR求△ABC的面积的最大值。解:2sinsin2sinsin(2)sin,RAARCCabB222sinsin(2)sin,2,aAcCabBacabb222222022,cos,4522abcabcabCCab42222,2sin2,22,sincRcRCRabRabC22222222,22RRabababab21222sin,24422RSabCab2max212RS另法:122sin2sin2sin244SabCabRARB222sin2sin2sinsin4RARBRAB212[cos()cos()]2RABAB22122[cos()]2222(1)22RABR2max212SR此时AB取得等号6.已知△ABC的三边cba且2,2CAbca,求::abc。解:sinsin2sin,2sincos4sincos2222ACACACACACB12147sincos,cos,sin2sincos222424224BACBBBB3,,,24242BBACACBAC33371sinsin()sincoscossin4444ABBB71sinsin()sincoscossin4444CBBB::sin:sin:sinabcABC)77(:7:)77(7.在△ABC中,若()()3abcabcac,且tantan33AC,AB边上的高为43,求角,,ABC的大小与边,,abc的长。5解:22201()()3,,cos,602abcabcacacbacBBtantan33tan(),3,1tantan1tantanACACACACtantan23AC,联合tantan33AC得tan1tan23tan1tan23AACC或,即000075454575AACC或当0075,45AC时,434(326),8(31),8sinbcaA当0045,75AC时,4346,4(31),8sinbcaA∴当00075,60,45ABC时,8,4(326),8(31),abc当00045,60,75ABC时,8,46,4(31)abc。解三角形[D组]1.在ABC中,sincosAA22,AC2,3AB,求Atan的值和ABC的面积。解法一:先解三角方程,求出角A的值。.21)45cos(,22)45cos(2cossinAAAA又0180A,4560,105.AA13tantan(4560)2313A,.46260sin45cos60cos45sin)6045sin(105sinsinASACABAABC1212232643426sin()。解法二:由sincosAA计算它的对偶关系式sincosAA的值。sincosAA22①621(sincos)212sincos20180,sin0,cos0.1(sin2)2AAAAAAAA另解23cossin21)cos(sin2AAAA,sincosAA62②①+②得sinA264。①-②得cosA264。从而sin264tan23cos426AAA。2.(2010上海文数18.)若△ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC,则△ABC(C)(A)一定是锐角三角形.(B)一定是直角三角形.(C)一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.3.(2010天津理数7)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若223abbc,sin23sinCB,则A=(A)(A)030(B)060(C)0120(D)01504.(2010湖北理数)3.在ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB=(D)A-223B223C-63D635.(2010广东理数)11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=3,A+C=2B,则sinC=1。6.(2009全国卷Ⅰ理)在ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知222acb,且sincos3cossin,ACAC求b7.(2009四川卷文)在ABC中,AB、为锐角,角ABC、、所对的边分别为abc、、,且510sin,sin510AB.(I)求AB的值;(II)若21ab,求abc、、的值。7解(I)∵AB、为锐角,510sin,sin510AB∴2225310cos1sin,cos1sin510AABB253105102cos()coscossinsin.5105102ABABAB∵0AB,∴4AB(II)由(I)知34C,∴2sin2C由sinsinsinabcABC得5102abc,即2,5abcb又∵21ab∴221bb∴1b∴2,5ac8.(2010辽宁文数17)(本小题满分12分)在ABC中,abc、、分别为内角ABC、、的对边,且2sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC(Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)若sinsin1BC,试判断ABC的形状.解:(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得cbcbcba)2()2(22即bccba222由余弦定理得Abccbacos2222故120,21cosAA(Ⅱ)由(Ⅰ)得.sinsinsinsinsin222CBCBA又1sinsinCB,得21sinsinCB因为900,900CB,故BC所以ABC是等腰的钝角三角形。9.(2010辽宁理数)(17)(本小题满分12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2sin(2)sin(2)sin.aAacBcbC(Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)求sinsinBC的最大值.8解:(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得22(2)(2)abcbcbc即222abcbc由余弦定理得2222cosabcbcA故1cos2A,A=120°……6分(Ⅱ)由(Ⅰ)得:sinsinsinsin(60)BCBB31cossin22sin(60)BBB故当B=30°时,sinB+sinC取得最大值1。
本文标题:必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题
链接地址:https://www.777doc.com/doc-2392218 .html