新课标人教A版高中数学必修五典题精讲(1.3正弦定理余弦定理的应用)

米处，测得天空中一朵云的仰角为α，测得云在湖中之影的俯角为β，试证明云距湖面的高度为h·)sin()sin(.思路分析:因湖面相当于一个平面镜，云C与它在湖中之影D关于湖面对称，设云高CM=x.在三角形中建立含x的方程，解出x即可.图1-3-3解：如图1-3-3，设湖面上高h米处为A，测得云C的仰角为α，测得C在湖中之影D的俯角为β，CD与湖面交于M，过A的水平线交CD于E.设云高CM=x,则CE=x-h,DE=x+h,AE=tanhx.又AE=tanhx,∴tanhx=tanhx.整理，得x=tantantantan·h=h·)sin()sin(.绿色通道：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂平面内，视线与水平线的夹角.当视线在水平线之上时，称为仰角;当视线在水平线之下时，称为俯角.变式训练1如图1-3-4，为了测量上海东方明珠塔的高度，测量人员站在A处测得塔尖的仰角为75.5°，前进38.5m后，在B处测得塔尖的仰角为80°，试计算塔的高度.图1-3-4思路分析:由于CD难以直接求解，我们可借助解直角三角形求解，只要能计算出BC的长，则在Rt△BCD中，可得塔高CD，而BC的长可在△ABC中利用正弦定理求得.解：∵∠CAD=75.5°,∠CBD=80°,∴∠ACB=4.5°.在△ABC中，由BACBCACBABsinsin,得BC=5.4sin5.75sin5.38sinsinACBBACAB≈477m.∴CD=BCsin80°≈470m,即塔的高度为470m.变式训练2一人见一建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西30°方向，此人向北偏西70°方向行走3km后，则见A在其北偏东56°方向，B在其北偏东74°方向，试求这两个建筑物的距离.（精确到10m）图1-3-5解：如图1-3-5所示，在△BCO中，∠BOC=70°-30°=40°,∠BCO=(180°-70°)-74°=36°,∴∠CBO=180°-40°-36°=104°.由正弦定理，得36sin104sinBOCO.∴BO=104sin36sin3.在△AOC中，∠AOC=70°,∠CAO=56°,∴∠ACO=54°.由正弦定理，得54sin56sinAOCO.∴AO=56sin54sin3.在△AOB中，由余弦定理,知AB=30cos222BOAOBOAO≈1630(m).∴这两个建筑物的距离为1630m.例2如图1-3-6，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，应沿什么方向，用多少小时最快追上乙船？（精确到度）图1-3-6思路分析:假设用t小时在C处追上乙船，则在△ABC中，AC、BC可用t来表示，进而利用余弦定理求得t，解此三角形即可.解：假设用t小时，甲船在C处追上乙船，在△ABC中，AC=28t,BC=20t,∠ABC=180°-45°-15°=120°.由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC,即(28t)2=81+(20t)2-2×9×20t×(-21).整理，得128t2-60t-27=0,即(4t-3)(32t+9)=0.∴t=43,t=329(舍去).∴AC=28×43=21,BC=20×43=15.由正弦定理，得sin∠BAC=1435212315sinACABCBC.又∠ABC=120°,∴∠BAC为锐角,∠BAC=38°.∴45°-38°=7°.∴甲船应沿南偏东7°方向用43小时最快追上乙船.绿色通道：航海问题常利用解三角形的知识去解决，在具体解题时，应画出示意图，找出已知量及所求的量，转化为三角形的边角，利用正弦、余弦定理求解.变式训练在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O的东偏南θ(cosθ=102)方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受影响达多少小时？思路分析:设t小时后台风中心在Q，此时城市O受到台风影响，即此时O在台风侵袭的圆形区域内，注意台风在行进过程中，其半径在不断地增大，连结OQ，把问题放到△OPQ中，利用正弦、余弦定理解三角形即可.图1-3-7解：如图1-3-7，设在t小时后台风中心在Q点，此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60（km）.若在此刻城市O受到台风的影响，则OQ≤10t+60.由余弦定理,知OQ2=PQ2+PO2-2PQ·POcos∠OPQ.由PO=300,PQ=20t,cos∠OPQ=cos(θ-45°)=cosθcos45°+sinθsin45°=102×22+1-542210212.∴OQ2=（20t)2+3002-2×20t×300×54=202t2-9600t+3002.∴202t2-9600t+3002≤(10t+60)2.整理，得t2-36t+288≤0.解得12≤t≤24.∴12小时后该城市开始受到台风的侵袭，受影响达12小时.例3沿一条小路前进，从A到B，方位角是50°，距离是470m，从B到C，方位角是80°，距离是860m，从C到D，方位角是150°，距离是640m.试画出示意图，并计算出从A到D的方位角和距离.思路分析:从A到D的方位角，需构造三角形，连结AC，在△ABC中，用余弦定理求出AC，进而求出∠BAC,再在△ACD中，求出AD和∠CAD.图1-3-8解：示意图如图1-3-8所示，连结AC，在△ABC中，∠ABC=50°+(180°-80°)=150°，由余弦定理，得AC=150cos222BCABBCAB≈1289.由正弦定理，得sin∠BAC=1289150sin860sinACABCBC≈0.3336.利用计算器可得∠BAC≈19.5°,∠ACB=10.5°.在△ACD中，∠ACD=80°-10.5°+30°=99.5°.由余弦定理，得AD=ACDCDACCDACcos222≈1531.由正弦定理，得∠CAD≈24.4°.∴从A到D的方位角为50°+19.5°+24.4°=93.9°,即A到D的方位角为93.9°，距离为1531m.绿色通道：明确方位角的定义，是由指北方向顺时针到目标方向线的水平角.本题中A到D的方位角是50°+∠BAD，把角的求解放到三角形中，关键是理顺题目中的数量关系，结合示意图，构造出相应的三角形，结合正、余弦定理解决.变式训练A、B、C是一条直路上的三点，AB与BC等于1千米.从三点分别望塔P.A处见塔在东北方，B处见塔在正东，C处见塔在南偏东60°.求塔至直路的距离.图1-3-9解：如图1-3-9，由已知条件知∠CPB=30°,∠BPA=45°,AB=BC=1千米.又△CPB的面积等于△BPA的面积，故有PB·PAsin45°=PB·PCsin30°PC=2PA.由△APC的面积，有PD·AC=PA·PCsin75°PD=22PA2sin75°.由余弦定理，有PC2+PA2-2PC·PAcos75°=4PA2=344.故PD=22×13357462344(千米).问题探究问题两千多年前，我国汉代的天文学家把商高的“测天量地”方法推广到计算太阳的高度.现在我们知道太阳离地球有1460万千米之遥，可是古代人又能怎样测算呢?导思:把太阳看作一个固定不动的点，选择一根长度已知的标杆，某一时刻找到太阳直射的一个点，再在不同的两个地方把标杆竖起，测量其影子的长度，根据三角形计算就能估算出太阳的高度.探究:那时人们认为天是圆的，地是方的，太阳挂在天空中特定的地方，它的高度是可以测量的.于是，天文学家根据一根已知长度的标杆在不同地方的太阳的影子的长度不同来计算太阳的高度.汉代天文学家把这种计算方法称为“垂差术”.如图1-3-10，设太阳O垂直照射到地面上的C点，高度为h，标杆长为p，在地方A的影长为m，在地方B的影长为n，A到C的距离为d，则有图1-3-10(1)mmdph;(2)nABndph.解方程组，消去d，得太阳离地面的高度h=mnpAB+p.