悠悠球自转与回收过程中的力学问题

悠悠球自转与回收过程中的力学问题摘要：悠悠球不仅仅是一项运动，也是世界上花式最多最难、最具观赏性的手上技巧运动之一。有人说悠悠是益智玩具，但悠悠球决不是益智玩具所能比的。悠悠球（YOYO），一个大家并不陌生的字眼，但往往被理解为幼稚的小孩玩具，事实上，悠悠球被称为“世界上第二大古老的玩具”。（最古老的玩具是洋娃娃）。但经过许多年的不断创新与发展，悠悠球正在成为一项风靡全球的手上技巧运动。本文将通过理论力学的知识，定量分析悠悠球在自转与回收过程中的力学问题。关键字：自转，回收，离心力，刚体悠悠球是一个陪伴我走过整个童年的玩具，但从小到大我一直没有试图去弄清悠悠球工作时的原理，直到本学期学习了理论力学，这门课提供给我了一种全新的分析物体运动与受力的方法，让我可以试图去解决这个困扰我多年的问题。悠悠球在被以一定初速度甩出后，到达绳线低端时会自转一段时间，这段时间称为睡眠，而悠悠球经过一段时间的睡眠后会自动回收，回到手中。究其原理，是因为悠悠球中存在一离合器结构，器示意图如下在当悠悠球下落时，重锤受到惯性离心力F=m𝜔2的作用而带动离合器臂压缩弹簧，进而张开，离合器臂离开轴心，可以使悠悠球自转，由于存在摩擦阻力的作用（主要是转动轴承内部的摩擦阻力），经过一段时间后，角速度变小，离心力变小，弹簧所提供的弹力变小，弹簧的压缩量变小，弹簧伸长，直到离合器臂接触到轴心时，离合器臂会带动轴心一起转动，进而将悠悠球回收。·过程分析假设悠悠球的质量为m，对质心的转动惯量为𝐽𝑐。细绳长为l，不计形变及质量。轴承摩擦系数为μ，内外半径分别为𝑟0，𝑟，细绳全部缠绕在轴承上时半径为R，忽略轴承的质量及转动惯量。假设悠悠球进行一个简单运动：以一定初速度被甩出，方向竖直向下，到达底端经过一段时间的睡眠后收回。下面分五个过程进行定量计算。1.出手过程将悠悠球甩出时手对悠悠球做功为W，W的作用是使其绕瞬心O做角速度为𝜔0的纯转动，如图所示，则由动能定理及平行轴定理可知：W=𝑇0=12𝐽𝑂𝜔02=12(𝐽𝑐+𝑚𝑅2)𝜔02得：𝜔0=√2𝑊𝐽𝑐+𝑚𝑅22.下落过程悠悠球在下落的过程中由于重力的作用速度不断变大，下落过程类似于纯滚动，在这里不研究，随着悠悠球的下落，缠绕的细绳越来越接近球的中心，忽略空气阻力等能量耗散，设当细绳完全抽出时悠悠球转动的角速度为𝜔1，由能量守恒定理及动能定理可知mgl=𝑇1−𝑇0=12(𝐽𝑐+𝑚𝑟2)𝜔12−W得：𝜔1=√2（𝑊+𝑚𝑔𝑙）𝐽𝑐+𝑚𝑟2质心速度为：𝑣𝑐1=𝜔1𝑟=𝑟√2（𝑊+𝑚𝑔𝑙）𝐽𝑐+𝑚𝑟23.范性过程此时线会迅速张紧，产生一个竖直向上的冲量，使质心的速度立刻变为零，平动动能耗散成其他形式能量，而转动动能保持不变，此过程称为范性过程，规定向下为正，冲量为𝐼𝑦=0−𝑚𝑣𝑐1=−𝑚𝑣𝑐1=−𝑚𝑟√2（𝑊+𝑚𝑔𝑙）𝐽𝑐+𝑚𝑟2与此同时，由于轴承不完全光滑，轴承会对转抽产生一定的冲量距，水平方向的冲量距是竖直方向的μ倍：L=−𝐼𝑥𝑟0=−μ𝐼𝑦𝑟0设范性过程结束时悠悠球角速度为ω2，由动量矩定理：L=−μmrr0√2（𝑊+𝑚𝑔𝑙）𝐽𝑐+𝑚𝑟2=𝐽𝑐（𝜔2−𝜔1）得：𝜔2=（1−μmrr0𝐽𝑐）√2（𝑊+𝑚𝑔𝑙）𝐽𝑐+𝑚𝑟24.自转过程此后，由于悠悠球有较大的角速度，离合器中的重锤收到离心力的作用，压缩弹簧使离合器臂打开，悠悠球绕转轴做定轴转动，同时由于轴承中存在摩擦力，角速度会持续变小，由动量矩定理的微分形式：𝑑𝐿𝑑𝑡=𝑀𝑓得：𝐽𝑐𝑑𝜔𝑑𝑡=−μmg𝑟0对上式积分，同时带入初始条件ω=𝜔2t=0得：𝐽𝐶(𝜔𝑡−𝜔2)=−μmg𝑟0𝑡得：𝜔𝑡=(1−𝜇𝑚𝑟𝑟0𝐽𝐶)√2(𝑊+𝑚𝑔𝑙)𝐽𝑐+𝑚𝑟2−𝜇𝑚𝑔𝑟0𝑡𝐽𝑐可见角速度随时间线性减小，当角速度减小到离合器临界角速度𝜔3时，重锤的离心力和弹簧的弹力相平衡，如果角速度继续减小，离合器臂就会将转轴抱死，而达到收球的目的，设达到临界角速度所需要的时间为T，则：T=𝐽𝑐𝜇𝑚𝑔𝑟0(√2(𝑊+𝑚𝑔𝑙)𝐽𝑐+𝑚𝑟2−𝜔3)−𝑟𝑔√2(𝑊+𝑚𝑔𝑙)𝐽𝑐+𝑚𝑟2时间T即为悠悠球的睡眠时间5.收球过程这是整个运动的最后一个过程，可看做是第一个过程的逆过程，设悠悠球回到手中前一刻的角速度为𝜔4，不计一切能量耗散，则根据动能定理有：−mgl=12(𝐽𝑐+𝑚𝑅2)𝜔42−12𝐽𝑐𝜔32得：𝜔4=√𝐽𝑐𝜔32−2𝑚𝑔𝑙𝐽𝑐+𝑚𝑅2至此，对于悠悠球运动过程的分析告一段落，接下来对于影响上式中睡眠时间T的各因素进行讨论。·结果讨论T=𝐽𝑐𝜇𝑚𝑔𝑟0(√2(𝑊+𝑚𝑔𝑙)𝐽𝑐+𝑚𝑟2−𝜔3)−𝑟𝑔√2(𝑊+𝑚𝑔𝑙)𝐽𝑐+𝑚𝑟21.临界角速度𝜔3对时间T的影响从T的表达式中不难看出，T随𝜔3的减小而线性增大，故若要让睡眠时间T增大，则𝜔3应尽量小，但同时为保证悠悠球最后可以回到手中，及𝜔4≥0，即𝜔3≥√2𝑚𝑔𝑙𝐽𝑐，所以𝜔3=√2𝑚𝑔𝑙𝐽𝑐时睡眠时间最长。2.初始做功W的影响将T的表达式稍加变形：T=(𝐽𝑐𝜇𝑚𝑔𝑟0−𝑟𝑔)√2(𝑊+𝑚𝑔𝑙)𝐽𝑐+𝑚𝑟2−𝐽𝑐𝜔3𝜇𝑚𝑔𝑟0显然𝐽𝑐𝜇𝑚𝑔𝑟0−𝑟𝑔≥0，所以T随W的增大而增大，但与此同时，范性过程中竖直方向冲量𝐼𝑦满足：𝐼𝑦=−𝑚𝑟√2（𝑊+𝑚𝑔𝑙）𝐽𝑐+𝑚𝑟2即𝐼𝑦的大小随着W的增大而增大，因此W不能过大，以防发生细线断裂等安全性问题。3.悠悠球内径𝒓𝟎及轴承摩擦系数μ的影响由表达式不难看出T随𝑟0及𝜇的减小而增大，这从直观上不难理解，𝑟0及𝜇越小，范性过程中摩擦力产生的水平方向冲量矩也越小，导致角速度衰变慢，睡眠时间变长。4.其余变量由于与T函数关系较为繁琐，求导复杂，在这里不再一一赘述。·参考文献：《理论力学》梁昆淼，高等教育出版社，2009