新课标高一函数单调性与奇偶性经典例题解析[编辑7页]

1/7新课标高一函数单调性与奇偶性经典例题解析下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误．奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确．若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A．说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零．2．复合函数的性质复合函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的，因变量y通过中间变量u与自变量x建立起函数关系，函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集．复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：(1)单调性规律如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间[g(m)，g(n)](或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数；若u=g(x)，y=f(u)增减性不同，则y=f[g(x)]为减函数．(2)奇偶性规律若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y=f[g(x)]是偶函数．［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(21)=－1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(xyyx1),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定21121xxxx的范围是焦点.证明：(1)由f(x)+f(y)=f(xyyx1),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f(21xxx)=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0x1x21,则f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f(21121xxxx)∵0x1x21,∴x2－x10,1－x1x20，∴12121xxxx0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)0∴x2－x11－x2x1,∴012121xxxx1,由题意知f(21121xxxx)02/7即f(x2)f(x1).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上为减函数.一、选择题2.函数f(x)=111122xxxx的图象()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=1对称解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.答案：C二、填空题3.函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.解析：令t=|x+1|,则t在(－∞,－1]上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1]上递减.答案：(－∞,－1]4.若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0x1x2),x2,+∞)上单调递增，则b的取值范围是_________.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞)单调递增，故a0.又知0＜x1＜x,得x1+x20,∴b=－a(x1+x2)＜0.答案：(－∞,0）三、解答题5.已知函数f(x)=ax+12xx(a1).(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数.(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.证明：(1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x10,12xxa1且1xa0,∴)1(12112xxxxxaaaa0,又x1+10,x2+10∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122xxxxxxxxxxxxxx0,3/7于是f(x2)－f(x1)=12xxaa[phone]xxxx0∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数.(2）证法一：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,则12000xxax且由0＜0xa＜1得0＜－1200xx＜1,即21＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.证法二：设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,则1200xx＜－2,0xa＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾，若x0＜－1,则1200xx0,0xa0，∴f(x0)0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.6.求证函数f(x)=223)1(xx在区间(1，+∞)上是减函数.证明：∵x≠0,∴f(x)=22422322)11(1)1(1)1(1xxxxxxx,设1＜x1＜x2＜+∞,则01111,11121222122xxxx.2211222222112222)11(1)11(1.0)11()11(xxxxxxxx∴f(x1)f(x2),f(x)在(1，+∞）上是减函数.7.设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1－x2)=)()(1)()(1221xfxfxfxf；(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.证明：(1）不妨令x=x1－x2,则f(－x)=f(x2－x1)=)()(1)()()()(1)()(12212112xfxfxfxfxfxfxfxf=－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函数.(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).4/7∵f(x+a)=f［x－(－a)］=)1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(afxfxfxfafxfafxfafxfaf.).(111)(1)(11)(1)(1)(1)(])[()2(xfxfxfxfxfaxfaxfaaxfaxf∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］=)2(1axf=f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.8.已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－21)=0,当x－21时，f(x)0.(1)求证：f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.证明：设x1＜x2,则x2－x1－21－21,由题意f(x2－x1－21)0,∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－21)－1=f［(x2－x1)－21］0,∴f(x)是单调递增函数.(2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.［例1］已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)0,设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤5},求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的“f”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去“f”号，转化为x不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值.解：由66603333332xxxx得且x≠0,故0x6,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－33－x2,即x2+x－60,解得x2或x－3,综上得2x6,即A={x|2x6},∴B=A∪{x|1≤x≤5}={x|1≤x6},又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－21)2－413知：g(x)在B上为减函数，∴g(x)max=g(1)=－4.一、选择题5/71.设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x,则f(7.5)等于()A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.5解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B2.已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)0,a的取值范围是()A.(22，3)B.(3，10)C.(22，4)D.(－2，3)解析：∵f(x)是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴9319113122aaaa∴a∈(22,3).答案：A二、填空题3.若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)0的解集为_________.解析：由题意可知：xf(x)＜00)(00)(0xfxxfx或3030)3()(0)3()(0xxxxfxfxfxfx或或∴x∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0）∪(0，3）4.如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(x+2)=－f(x),试比较f(31),f(32),f(1)的大小关系_________.解析：∵f(x)为R上的奇函数∴f(31)=－f(－31),f(32)=－f(－32),f(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－31－32－1.∴f(－31)f(－32)f(－1),∴f(31)＜f(32)＜f(1).6/7答案：f(31)＜f(32)＜f(1)三、解答题5.已知f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明.解：函数f(x)在(－∞,0）上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假设可知－x1－x20,又已知f(x)(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.6.已知函数y=f(x)=cbxax12(a,b,c∈R,a0,b0)是奇函数，当x0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)25.(1)试求函数f(x)的解析式；(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即cbxcbxcbxaxcbxax1122∴c=0,∵a0,b0,x0,∴f(x)=bxxbabxax112≥22ba，当且仅当x=a1时等号成立，于是22ba=2,∴a=b2,由f(1)＜25得ba1＜25即bb12＜25,∴2b2－