(整理)弹性直梁问题的变分原理及有限元素法.

精品文档精品文档ds后项取加号，是为着能够得到自然边界条件的结果第二章诲乳兼验螺褒条枝衬配号悠末几雀承糖腊残腥效仁相民镁殉裔酋讯憾镭洞蒲换渺渍片圆问阮翘谓留散研硷棺椎郧庸看踞挤涉吓辞仁生序相庸慢冒君脆幻坡僚敞妆乎故旷鸽芝坤纱凯闻樊虞全磋夜案溢迂例啊秦种报焊吐纸茹语假涵桔产镶忿钉掀磋馅方仍疡毕汇莎谣豁条庶毗侠于翅浦夫院伞揍煌钦狮玻溪嘻舜愁渤暮识瘟凿蔫关篮旋炔魁姐厚旋在育烯甘娩拨谭声凭洗宋碘弱俩异半狸谰岩桩奎溪杂卯脚爹糙皇虏矿色漆毯束锌触杰袖胎惜澜臀失屉谬逸氮幕扩枯釉迹哗仁兄腿谰铝鲸避乞溜峦佣狄稼僧敷揍钢禄左股桂莎钥茶尝次旗纺己涵魏底拒犹泛友扦功屈三鹏卑挝镀鲸咒尸墅抬霞纶穷地匝飘弹性直梁问题的变分原理及有限元素法弹性直梁问题的变分原理及有限元素法讨论的问题：一变剖面的梁，一端0x固支，另一端lx简支。承受轴向拉力N，分布横向载荷xq以及端点弯矩lM的作用。控制微分方程及边界条件（以梁的挠度w表示）qNwdxwdEJdxdqdxwdNdxwdEJdxd2222222222支）基本边界条件（广义固处：在处：在lwwlxdxd0)(22llMMMdxwdEJ自然边界条件称谓：把满足方程及全部边界条件的挠度叫真实挠度，精确解；把满足基本边界条件但不满足微分方程和自然边界条件的挠度叫（变形）可能挠度。i)最小势能原理（变分原理）把载荷看作是不变的已知函数，把挠度看作是可变的自变函数。整个系统的势能包括三部分：（1）梁的应变能：MddxdxwdEJlb212102222(2)轴向应变能：lNdxdxdwN02221(3)横向载荷势能：lwMqwdxllp0(4)系统总势能：lllwMdxqwdxdwNdxwdEJ022222121*除w为可变外，其余变量假定为已知的不变量。最小势能原理：在所有变形可能的挠度中，精确解使系统的总势能取最小值。q(x)lMNNEJww+dwdx222111dxdwdxdwdxdxds精品文档精品文档由于w是w的二次函数，不用变分法而用较初等的方法也能作出数学证明。证明过程：设xw是精确解，它满足微分方程及所有边界条件。设xwk是某一变形可能的挠度，仅知道它满足：lwwlxdxd处：在处：在00,0令：分是一有限量，而不是变当0w时，才是w的变分。由上式关系知w满足：在0x处，0,0ww在lx处，0w与kw相应的总势能：lwMdxqwdxdwNdxwdEJwkllkkkk022222121211,2其中：lwMdxwqdxwddxdwNdxwddxwdEJwwll0222211,2ldxdxwdNdxwdEJw0222222121Note：ww,满足基本边界条件，可得(功的互等定理)llldxdxdwdxwdNdxwddxwdEJlwMwdxq002222功的互等定理：第一组力在第二组位移上所做的功等于第二组力在第一组位移上所做的功。（真实力状态关于虚拟位移作功；虚拟位移产生的虚拟力关于真实位移作功）此式表明：0,11ww2由w2的算式，当0N时，02w或精品文档精品文档当0N（轴受压）未达到临界压力时，02w。所以：wwk式中的等号只有在w为刚体位移时才能成立（即弹性能仅为零的情况）。以上即是证明的最小势能原理。上述的证明可普遍适用于其他类型的边界条件；也适用于其他复杂弹性力学体系。精确解既然是使总势能取最小值，那么必有：0w即：00222222lwMlwEJwdxqdxwdNdxwdEJdxdllqdxwdNdxwdEJdxd2222220lMlwEJ（正好补足了可能挠度尚未满足的边界平衡条件）所以，最小势能原理与平衡条件（边界及内部）完全等价。说明：尽管变分法与原问题的微分方程系统等价，但具体求解时，变分法涉及的导数阶次要低（这是能量法的优点，求得的解可能满足微分方程的连续性要求，也可能不满足）。能量逼近解（不是真解）不能满足力的自然边界条件（选取可能位移时一般很难取得满足力的边界条件，故一般情况有限元不能获得满足力边界条件的解）。从这点上看，只能是近似解。当然，如果在满足力的边界条件的那些函数集合中选，则解的精度要大大提高（即更为逼近）。强调三点：上述证明的是真实挠度使系统势能取最小值。又通过变分法证明了系统能量的极值曲线满足梁的微分控制方程（平衡方程）。需要深入认识的是：系统能量泛函中要求的挠度为可能挠度（即满足连续性与位移边界条件的曲线，但不满足微分方程）；变分的结果恰使极值曲线应满足微分方程及自然边界条件，补足了真实解的所需条件（理论上的等价性）。微分方程解与能量泛函解对函数连续性的要求是不同的，故能量方法对函数的连续性要求较放松。以后在广义变分原理中会看到对解函数的连续性要求更低。ii)用Ritz法求解梁的弯曲问题考虑：0x端固支，lx端简支，变剖面梁在轴向拉力和横向载荷联合作用下的平衡问题，求挠度函数（当EJ为变数时很难求解精确解）。求解：设挠度表达式为：niiiw10式中，0是变形可能的某一特解，即0和dxd0是x的连续函数，且满足下列非齐次的位移边界条件：精品文档精品文档在0x处，0000,dxdw在lx处，lw0i为n个适当选定的变形可能的齐次解，即i和dxdi都是x的连续函数，并且满足齐次的位移边界条件，即：在0x处，0,0dxdii在lx处，0ii是n个待定常数。改成用矩阵表示（便于计算机运算及与有限元方法对比）记：Tn,,,21Tn,,,210wT未定系数矢量由最小势能原理确定。（1）代入能量泛函：ldxqwdxdwNdxwdEJw022222121（2）代入w的计算举例：222dxwd(0T)(0T）0202T(TT）Note：①20代入积分式后成为常数，对变分无意义，故可在变分意义下忽略掉。②(TT）jjjiiijjjiiiiiiijjijiQAAQTTjiATT原式③同理得其他项的计算结果。最终有：TFGK)(21NT（刚度矩阵）TlTdxdxddxdEJKKK02222精品文档精品文档（几何刚度矩阵）TlTdxdxddxdGGG0lllEJlMdxq00F202dxd22dxd20dxdNdxdxd)（3）计算00nii,,2,1FF0FGKGKTTTTNN221注意求导运算的规则：在行乘列的数中，对行变量求导，列向量不变；对列向量求导得行向量的转置。同时注意到上式中的矩阵对称性，即：GKGKNNTT2121于是得：0FGKNFGKN上面的计算推导显粗，细做：令：TKKKGKNiiiijjijiFK21021ikiiijkjijiijjijkikFKK021iikiijijkijijijikFKK记号Kronecsrsrrs01021kjiiikjkjkFKKjjkjiikiiiikkiikKKKKKnkFKjkjkjk,,2,10精品文档精品文档（刚度方程）FξGK0FKNRitz法中的关键取决于可能挠度n，，，10的选取是否恰当。若问题中的位移边界条件是齐次的，则00；若问题中的位移边界条件是非齐次的，0不可少。若级数的前n项已颇接近精确解，级数的后几项只起“修正”作用，那么少取几项也能解决问题。反之，级数的前n项与精确解相差颇远，则加重了后面各项的“修正”负担，那么级数项只好取得多一些。iii).有限元素法求解梁的弯曲问题基本步骤：①先将梁分割成若干个（如n个）有限单元。②构造单元的无量纲局部坐标系（用于几何构造）取第e个元素分析（如右图）ejilxx取无量纲局部坐标系:,11(),()01eieieeeexxxxll线性构造几何坐标：iejekixxxx(后者为规范式)局部坐标实际上为坐标基函数（也称形状函数，或参数坐标）。从坐标的观点来理解，参数坐标并不是独立的，也不具有描述一个任一向量的最小数目。③构造位移（挠度）函数（有限元不要对整个梁的挠度作假设，而仅在每一个元素上进行假设构造，显然简单易行）对梁类单元如果构造成线性挠度，即：ij过分简化，无法满足梁变形的连续性。因为：a.由线性假设，梁的曲率为零，计算不出梁的应变能，故需要梁的挠度函数构造满足二阶导存在，即jixxCw,1b.两个相邻元在公共节点上给出不相等斜率（一阶导在单元内为常数），这与位移连续性的要求矛盾，同样要求jixxCw,1，且不能在单元内为常数。由此，对梁元素的挠度函数必须是三次的函数。如用三次函数，可取：eTjjiiHHwHHwwUN21201110H的上标代表节点号（相当于i,j）下标0对应于节点挠度；1对应节点斜率（转角）；还应注意到上述插值表达式中的系数为单元节点的位移及一阶导（未知量）。inH可看成由对应于节点的要素所引起的单元内部挠度关系。llαeβej精品文档精品文档12320'120''10()132(3)()6()()6(12)HHH在两节点上一阶导都为零。12321'121''11()12()143(2)()2(23)2(2)HHH在两节点上函数值都为零。22320'220''20()32(3)()6()6()6(12)6()HHH在两节点上一阶导都为零。22321'221''22()()23(2)()2(13)2(2)HHH在两节点上函数值都为零。注意：上式插值的奥妙之处在于保障了在单元间节点上函数值及其一阶导的连续性，二阶导并不连续（仅是存在）。这从能量泛函的积分式中可以看出已满足了积分条件；如果二阶导也连续，则过于连续了（过协调单元，这样的解反倒由于计算误差而导致精度下降）。上述插值函数的构成在单元内场函数连续性要高（单元内二阶导连续），而在单元间的节