突破“函数与导数”压轴大题的-“卡壳点”——卡壳点二-遇到有关x与ex-ln-x的组合函数问题怎么办

突破突破突破突破“函数与导数函数与导数函数与导数函数与导数”压轴大题的压轴大题的压轴大题的压轴大题的“卡壳点卡壳点卡壳点卡壳点”卡壳点二遇到有关xxxx与eeeexxxx，lnlnlnlnxxxx的组合函数问题怎么办？类型一xxxx与与与与lnlnlnlnxxxx的组合函数问题的组合函数问题的组合函数问题的组合函数问题(1)(1)(1)(1)熟悉函数ffff((((xxxx))))＝hhhh((((xxxx)ln)ln)ln)lnxxxx((((hhhh((((xxxx))))＝axaxaxax2222＋bxbxbxbx＋cccc((((aaaa，，，，bbbb不能同时为不能同时为不能同时为不能同时为0000))))))))的图象特征，做到对图(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．(2)(2)(2)(2)熟悉函数ffff((((xxxx))))＝lnlnlnlnxxxxhhhh((((xxxx))))((((hhhh((((xxxx))))＝axaxaxax2222＋bxbxbxbx＋cccc((((aaaa，，，，bbbb不能同时为不能同时为不能同时为不能同时为0000))))，hhhh((((xxxx))))≠0)0)0)0)的图象特征，做到对图(3)(4)(3)(4)(3)(4)(3)(4)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．[[[[典例典例典例典例]]]]设函数ffff((((xxxx))))＝xxxxlnlnlnlnxxxx－axaxaxax22222222＋aaaa－xxxx((((aaaa∈R)R)R)R)．(1)(1)(1)(1)若函数ffff((((xxxx))))有两个不同的极值点，求实数aaaa的取值范围；(2)(2)(2)(2)若aaaa＝2222，kkkk∈NNNN，gggg((((xxxx))))＝2222－2222xxxx－xxxx2222，且当xxxx＞2222时不等式kkkk((((xxxx－2)2)2)2)＋gggg((((xxxx))))＜ffff((((xxxx))))恒成立，试求kkkk的最大值．[[[[解题观摩解题观摩解题观摩解题观摩]]]](1)(1)(1)(1)由题意知由题意知由题意知由题意知，，，，函数函数函数函数ffff((((xxxx))))的定义域为的定义域为的定义域为的定义域为(0(0(0(0，，，，＋＋＋＋∞))))，，，，ffff′((((xxxx))))＝＝＝＝lnlnlnlnxxxx＋＋＋＋1111－－－－axaxaxax－－－－1111＝＝＝＝lnlnlnlnxxxx－－－－axaxaxax，，，，令令令令ffff′((((xxxx))))＝＝＝＝0000，可得，可得，可得，可得aaaa＝＝＝＝lnlnlnlnxxxxxxxx，，，，令令令令hhhh((((xxxx))))＝＝＝＝lnlnlnlnxxxxxxxx((((xxxx＞＞＞＞0)0)0)0)，则由题可知直线，则由题可知直线，则由题可知直线，则由题可知直线yyyy＝＝＝＝aaaa与函数与函数与函数与函数hhhh((((xxxx))))的图象有两个不同的交点，的图象有两个不同的交点，的图象有两个不同的交点，的图象有两个不同的交点，hhhh′((((xxxx))))＝＝＝＝1111－－－－lnlnlnlnxxxxxxxx2222，令，令，令，令hhhh′((((xxxx))))＝＝＝＝0000，得，得，得，得xxxx＝＝＝＝eeee，可知，可知，可知，可知hhhh((((xxxx))))在在在在(0(0(0(0，，，，e)e)e)e)上单调递增，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增，在(e(e(e(e，＋，＋，＋，＋∞))))上单调递减，上单调递减，上单调递减，上单调递减，hhhh((((xxxx))))maxmaxmaxmax＝＝＝＝hhhh(e)(e)(e)(e)＝＝＝＝1111eeee，当，当，当，当xxxx―→0000时，时，时，时，hhhh((((xxxx))))―→－－－－∞，当，当，当，当xxxx―→＋＋＋＋∞时，时，时，时，hhhh((((xxxx))))―→0000，，，，故实数故实数故实数故实数aaaa的取值范围为的取值范围为的取值范围为的取值范围为((((0000，，，，1111eeee))))....(2)(2)(2)(2)当当当当aaaa＝＝＝＝2222时，时，时，时，ffff((((xxxx))))＝＝＝＝xxxxlnlnlnlnxxxx－－－－xxxx2222＋＋＋＋2222－－－－xxxx，，，，kkkk((((xxxx－－－－2)2)2)2)＋＋＋＋gggg((((xxxx))))＜＜＜＜ffff((((xxxx))))，即，即，即，即kkkk((((xxxx－－－－2)2)2)2)＋＋＋＋2222－－－－2222xxxx－－－－xxxx2222＜＜＜＜xxxxlnlnlnlnxxxx－－－－xxxx2222＋＋＋＋2222－－－－xxxx，整理得，整理得，整理得，整理得kkkk((((xxxx－－－－2)2)2)2)＜＜＜＜xxxxlnlnlnlnxxxx＋＋＋＋xxxx，，，，因为因为因为因为xxxx＞＞＞＞2222，所以，所以，所以，所以kkkk＜＜＜＜xxxxlnlnlnlnxxxx＋＋＋＋xxxxxxxx－－－－2222....设设设设FFFF((((xxxx))))＝＝＝＝xxxxlnlnlnlnxxxx＋＋＋＋xxxxxxxx－－－－2222((((xxxx＞＞＞＞2)2)2)2)，则，则，则，则FFFF′((((xxxx))))＝＝＝＝xxxx－－－－4444－－－－2ln2ln2ln2lnxxxx((((xxxx－－－－2222))))2222....令令令令mmmm((((xxxx))))＝＝＝＝xxxx－－－－4444－－－－2ln2ln2ln2lnxxxx((((xxxx＞＞＞＞2)2)2)2)，，，，则则则则mmmm′((((xxxx))))＝＝＝＝1111－－－－2222xxxx＞＞＞＞0000，，，，所以所以所以所以mmmm((((xxxx))))在在在在(2(2(2(2，，，，＋＋＋＋∞))))上单调递增上单调递增上单调递增上单调递增，，，，mmmm(8)(8)(8)(8)＝＝＝＝4444－－－－2ln2ln2ln2ln8888＜＜＜＜4444－－－－2ln2ln2ln2lneeee2222＝＝＝＝4444－－－－4444＝＝＝＝0000，，，，mmmm(10)(10)(10)(10)＝＝＝＝6666－－－－2ln2ln2ln2ln10101010＞＞＞＞6666－－－－2ln2ln2ln2lneeee3333＝＝＝＝6666－－－－6666＝＝＝＝0000，所以函，所以函，所以函，所以函数数数数mmmm((((xxxx))))在在在在(8,10)(8,10)(8,10)(8,10)上有唯一的零点上有唯一的零点上有唯一的零点上有唯一的零点xxxx0000，，，，即即即即xxxx0000－－－－4444－－－－2ln2ln2ln2lnxxxx0000＝＝＝＝0000，故当，故当，故当，故当2222＜＜＜＜xxxx＜＜＜＜xxxx0000时，时，时，时，mmmm((((xxxx))))＜＜＜＜0000，即，即，即，即FFFF′((((xxxx))))＜＜＜＜0000，当，当，当，当xxxx＞＞＞＞xxxx0000时，时，时，时，FFFF′((((xxxx))))＞＞＞＞0000，所以，所以，所以，所以FFFF((((xxxx))))minminminmin＝＝＝＝FFFF((((xxxx0000))))＝＝＝＝xxxx0000lnlnlnlnxxxx0000＋＋＋＋xxxx0000xxxx0000－－－－2222＝＝＝＝xxxx0000((((1111＋＋＋＋xxxx0000－－－－44442222))))xxxx0000－－－－2222＝＝＝＝xxxx00002222，所以，所以，所以，所以kkkk＜＜＜＜xxxx00002222，，，，因为因为因为因为xxxx0000∈∈∈∈(8,10)(8,10)(8,10)(8,10)，所以，所以，所以，所以xxxx00002222∈∈∈∈(4,5)(4,5)(4,5)(4,5)，故，故，故，故kkkk的最大值为的最大值为的最大值为的最大值为4.4.4.4.[[[[关键点拨关键点拨关键点拨关键点拨]]]]对于有关xxxx与lnlnlnlnxxxx的组合函数为背景的试题，要求学生理解导数公式和导数的运算法则等基础知识，能够灵活利用导数研究函数的单调性，能够恰当地构造函数，并根据区间的不同进行分析、讨论，寻求合理的证明和解不等式的策略．类型二xxxx与与与与eeeexxxx的组合函数问题的组合函数问题的组合函数问题的组合函数问题(1)(1)(1)(1)熟悉函数ffff((((xxxx))))＝hhhh((((xxxx)e)e)e)egggg((((xxxx))))((((gggg((((xxxx))))为一次函数，hhhh((((xxxx))))＝axaxaxax2222＋bxbxbxbx＋cccc((((aaaa，，，，bbbb不能同时为不能同时为不能同时为不能同时为0))0))0))0))的图象特征，做到对图(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．(2)(2)(2)(2)熟悉函数ffff((((xxxx))))＝eeeexxxxhhhh((((xxxx))))((((hhhh((((xxxx))))＝axaxaxax2222＋bxbxbxbx＋cccc((((aaaa，，，，bbbb不能同时为不能同时为不能同时为不能同时为0)0)0)0)，hhhh((((xxxx))))≠0)0)0)0)的图象特征，做到对图(3)(4)(3)(4)(3)(4)(3)(4)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．[[[[典例典例典例典例]]]]已知函数ffff((((xxxx))))＝aaaa((((xxxx－1)1)1)1)，gggg((((xxxx))))＝((((axaxaxax－1)1)1)1)····eeeexxxx，aaaa∈R.R.R.R.(1)(1)(1)(1)求证：存在唯一实数aaaa，使得直线yyyy＝ffff((((xxxx))))和曲线yyyy＝gggg((((xxxx))))相切；(2)(2)(2)(2)若不等式ffff((((xxxx))))＞gggg((((xxxx))))有且只有两个整数解，求aaaa的取值范围．[[[[解题观摩解题观摩解题观摩解题观摩]]]](1)(1)(1)(1)证明：证明：证明：证明：ffff′((((xxxx))))＝＝＝＝aaaa，，，，gggg′((((xxxx))))＝＝＝＝((((axaxaxax＋＋＋＋aaaa－－－－1)e1)e1)e1)exxxx....设直线设直线设直线设直线yyyy＝＝＝＝ffff((((xxxx))))和曲线和曲线和曲线和曲线yyyy＝＝＝＝gggg((((xxxx))))的切点的坐标为的切点的坐标为的切点的坐标为的切点的坐标为((((xxxx0000，，，，yyyy0000))))，则，则，则，则yyyy0000＝＝＝＝aaaa((((xxxx0000－－－－1)1)1)1)＝＝＝＝((((axaxaxax0000－－－－1)e1)e1)e1)exxxx0000，，，，得得得得aaaa((((xxxx0000eeeexxxx0000－－－－xxxx0000＋＋＋＋1)1)1)1)＝＝＝＝eeeexxxx0000，，，，①①①①又因为直又因为直又因为直又因为直线线线线yyyy＝＝＝＝ffff((((xxxx))))和曲和曲和曲和曲线线线线yyyy＝＝＝＝gggg((((xxxx))))相切相切相切相切，，，，所所所所以以以以aaaa