【超全】三角变换公式大全-打印版

【必修四】三角变换知识总结第1页共7页三角变换知识点总结常用三角不等式1.若(0,)2x，则sintanxxx2.若(0,)2x，则1sincos2xx3.|sin||cos|1xx同角三角函数关系1.倒数关系：1cscsin，1seccos，1cottan2.商数关系：cossintan，sincoscot3.平方关系：1cossin22，22sectan1，22csccot1简单三角方程的解1.sinsin(1)()kkkZ2.coscos2()kkZ3.tantan()kkZ两角和与差的公式1.sin()sincoscossin2.cos()coscossinsin3.tantantan()1tantan二倍角公式1.cossin22sin2.2222sin211cos2sincos2cos------)(3.2tan1tan22tan二倍角的余弦公式)(有以下常用变形：（规律：降序扩角，升幂缩角）2cos22cos12sin22cos12)cos(sin2sin12)cos(sin2sin121cos2cos222sin1sin2，2cos12sin2sin2cos1tan三角函数降幂公式1.1sincossin22【必修四】三角变换知识总结第2页共7页2.21cos2sin23.21cos2cos2三倍角公式1.3sin33sin4sin4sinsin()sin()332.3cos34cos3cos4coscos()cos()333.323tantantan3tantan()tan()13tan33半角公式1.1cossin222.1coscos223.21cossin224.21coscos225.21cos2sin26.21cos2cos27.1cossin1costan21cos1cossin注：符号的选择由2所在的象限确定万能公式1.2tan1tan22sin2.22tan1tan12cos3.2tan1tan22tan万能公式形式2：【必修四】三角变换知识总结第3页共7页和差化积公式1.2cos2sin2sinsin2.2sin2cos2sinsin3.2cos2cos2coscos4.2sin2sin2coscos了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：2sin2cos2cos2sin22sinsin2sin2cos2cos2sin22sinsin两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。2cos2cos2cos2cos22coscos2cos2cos2cos2cos22coscos两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。积化和差公式1.)sin()sin(21cossin2.)sin()sin(21sincos3.)cos()cos(21coscos4.)cos()cos(21sinsin可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用辅助角公式222222sinsinsincosababababab22sin()ab注意：其中辅助角与点),(ba在同一象限，且abtan22sinbab，22cosbaa，abtan特殊情况：sincos2sin4，sin3cos2sin3【必修四】三角变换知识总结第4页共7页三角函数中的特殊等式1.22sinsinsinsin2.2222coscoscossincossin3.cottan2cot2三角函数求值常见公式变形1.sintantantan1tantancoscosxyxyxyxyxy2.1tantan1tan4xxx3.21sin2(sincos)4.21sincossincossin22225.11sin2coscos2cos4cos22sinnnn三角变换更一般的方法1.角的变换：包括角的分解和角的组合，如，222，424xx，22等2.项的分拆3.名的变化：化弦或化切可以减少函数的种类，化异名为同名，对齐次三角函数式常作化切处理4.次数的变换：升、降幂公式5.形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算6.常数代换：如1的活用等正弦定理RCcBbAa2sinsinsin（R为ABC外接圆半径）正弦定理的变形：sinsinsinsinabABabAB，sinsinaAbB，2sinaRA，2sinbRB，2sincRC余弦定理Abccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos2222变形：222cos2bcaAbc，【必修四】三角变换知识总结第5页共7页222cos2acbBac，222cos2abcCab常见结论①22260Ccabab②222120Ccabab③222303Ccabab④2221503Ccabab⑤222452Ccabab⑥222452Ccabab判断三角形形状形状包括：正三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形.判断形状时，将已知条件转化为边边关系，或将已知条件转化为角角关系若c为最大边1.222abcABC为锐角三角形2.222abcABC为直角三角形3.222abcABC为钝角三角形注：在ABC中，sin2sin2AB，可以得出22AB或22AB；而cos2cos2AB可以得出22AB，即AB三角形面积公式已知ABC三条边分别为abc、、，R为ABC外接圆半径，r为ABC内接圆半径，12pabc1.12aSah2.111sinsinsin222SabCbcAacB3.4abcSR4.22sinsinsinSRABC5.222sinsinsinsinsinsin2sin2sin2sinaBCbACcABSABC6.111222Sarbrcrpr（注：将三角形面积分成三个小三角形面积）【必修四】三角变换知识总结第6页共7页7.Sppapbpc海伦公式8.2212SABACABAC三角形中常见规律1.射影定理：在ABC中，coscosbaCcA，…2.在ABC中，sinsinABAB3.在ABC中，ABC、、成等差数列=60B4.ABC为正三角形ABC、、成等差数列，边abc、、成等比数列三角形中的恒等式三角形内角和定理：在ABC中，有()ABCCAB222CAB222()CAB（看似简单，却经常使用）以下各式一般都由三角形内角和定理推出(1)sinsinABC，coscosABC，tantanABC(2)sincos22ABC，cossin22ABC，tancot22ABC(3)sinsinsin4coscoscos222ABCABC(4)coscoscos14sinsinsin222ABCABC(5)sin2sin2sin24sinsinsinABCABC(6)cos2cos2cos214coscoscosABCABC(7)222sinsinsin22coscoscosABCABC(8)222coscoscos12coscoscosABCABC(9)tantantantantantanABCABC注：由CAB两边取正切(10)tantantantantantan1222222ABBCCA注：由222CAB两边取正切解三角形常见的类型及解法在三角形的6个元素中要知3个才能求解1.已知：一边和两角（如a，B，C）一般解法：由A+B+C=π，求∠A；由正弦定理求出b，c在有解时只有一解2.已知：两边和夹角（如a，b，C）一般解法：由余弦定理求出第三边；由正弦定理求出小边所对的角；再由A+B+C=π求出另一角.在有解时只有一解【必修四】三角变换知识总结第7页共7页3.已知：三边（如a，b，c）一般解法：由余弦定理求出∠A、∠B；再利用A+B+C=π求出∠C在有解时只有一解4.已知：两边和其中一边的对角（如a，b，A）一般解法：由正弦定理求出∠B；利用A+B+C=π求出∠C；再利用正弦定理或余弦定理求c，在有解时可有一解、两解或无解三角形存在性讨论已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有一解、两解或无解。如在三角形中，已知a，b和∠A若A∠为锐角(1)若sinabA或ab时，一解(2)若sinbAab时，两解(3)若sinabA时，无解注：此类问题画图时先画已知角若∠A为钝角或直角(1)若ab时，一解(2)若a≤b时，无解(3)