2018-2019学年广东省深圳市高级中学高二上学期期末考试-数学(理)-Word版

-1-深圳高级中学（集团）2018--2019学年第一学期期末考试高二数学（理科）命题人：刘功盛审题人：范铯本试卷由两部分组成。第一部分：高二数学第一学期期中前的基础知识和能力考查，共57分；选择题包含第1题、第3题、第6题、第7题、第8题，共25分。填空题包含第13题、第14题，共10分。解答题包含第17题、第18题，共22分。第二部分：高二数学第一学期期中后的基础知识和能力考查，共93分。选择题包含第2题、第4题、第5题、第9题、第10题、第11题，第12题，共35分。填空题包含第15题,第16题，共10分。解答题包含第19题、第20题、第21题、第22题，共48分。全卷共计150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设复数z＝+2i，则|z|＝（）A．B．2C．D．12．已知命题p：∀x≥0，x≥sinx，则p为（）A．∀x＜0，x＜sinxB．∀x≥0，x＜sinxC．∃x0＜0，x0＜sinx0D．∃x0≥0，x0＜sinx03．设a＝50.4，b＝log0.40.5，c＝log50.4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜c＜a4．若函数()fx的导函数()fx的图象如图所示，则（）-2-A．函数()fx有1个极大值，2个极小值B．函数()fx有2个极大值，2个极小值C．函数()fx有3个极大值，1个极小值D．函数()fx有4个极大值，1个极小值5．近几年来，在欧美等国家流行一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：①9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1，2，3，…，9这9个数字填满整个格子，且每个格子只能填一个数；②每一行与每一列以及每个小九宫格里分别都有1，2，3，…9的所有数字．根据图中已填入的数字，可以判断A处填入的数字是（）A．1B．2C．8D．96．已知实数x，y满足约束条件20100xyxyx，则2zxy的最小值为（）A．1B．52C．2D．17．已知函数()sin()(0,0,||)fxAxA的部分图象如图，为了得到()2cos2gxx的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位8．等差数列{}na的前n项和为nS，若711a，则13S＝（）A．66B．99C．110D．1439．已知函数()sinfxxx，则()7f，(1)f，()3f的大小关系为（）A．()(1)()37fffB．(1)()()37fffC．()(1)()73fffD．()()(1)73fff10．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB＝4，AB＝2，CC1＝2，E，F分别为AC，-3-CC1的中点，则直线EF与平面AA1B1B所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°11．设双曲线C：22221(0,0)xyabab的左焦点为F，直线43200xy过点F且在第二象限与C的交点为P，O为原点，若|OP|＝|OF|，则C的离心率为（）A．54B．5C．53D．512．设函数f（x）在R上存在导数()fx，对任意x∈R，有()()0fxfx，且x∈[0，+∞）时()fx＞2x，若(2)()44fafaa，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E，F分别为BC，CD的中点，则(AE→＋AF→)BD→的值为_________14．已知tanπ4＋α＝2，则12sinαcosα＋cos2α的值为______;15．12200cos1xdxxdx＝;16．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则此抛物线的方程为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2acosB+b＝2c．（1）求A的大小；（2）若a＝，b＝2，求△ABC的面积．-4-18．（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，数列{bn}满足2nnba．（1）求{an}的通项公式；（2）若nc＝1+bn•bn+1，求数列{c}n的前n项和Tn．19．（本小题满分12分）已知函数2()lnfxxx．（1）求函数y＝f（x）的单调区间；（2）求函数y＝f（x）在1,22上的最大值与最小值．20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，112ABBCAD，∠BAD＝∠ABC＝90°．（1）证明：PD⊥AB；（2）点M在棱PC上，且PMPC，若二面角M﹣AB﹣D大小的余弦值为217，求实数λ的值．21．（本小题满分12分）已知椭圆C的中心是坐标原点O，它的短轴长2，焦点F（c，0），点10(,0)Acc，且2OFFA．-5-（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过点A的直线与椭圆C相较于P、Q两点，且以线段PQ为直径的圆过坐标原点O，若存在，求出直线PQ的方程；不存在，说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数2()fxxaxa，aR，()xgxe（其中e是自然对数的底数）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线xy21垂直，求实数a的值；（2）记函数F（x）＝f（x）•g（x），其中a＞0，若函数F（x）在（﹣3，3）内存在两个极值点，求实数a的取值范围；（3）若对任意x1，x2∈[0，3]，且x1＞x2，均有|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|成立，求实数a的取值范围．深圳高级中学（集团）2018--2019学年第一学期期末考试高二数学（理科）答案题号123456789101112答案CDBBACBDAADA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．-18；14．；15．1；16．y2＝6x；三、解答题：17．解：（1）∵2acosB+b＝2c，由正弦定理得：2sinAcosB+sinB＝2sinC＝2sin（A+B）＝2sinAcosB+2cosAsinB，∴sinB＝2cosAsinB，∵sinB≠0，∴cosA＝，又0＜A＜π，∴A＝；（2）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，∵a＝，b＝2，∴c2﹣2c﹣3＝0，∴c＝3，-6-∴S△ABC＝bcsinA＝×2×3×＝18．解：（1）由题意当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，当n＝1时，a1＝S1＝1，满足上式，所以an＝2n﹣1；（2）由（1）知，bn＝，∁n＝1+bn•bn+1＝1+•＝1+2（﹣）∴Tn＝c1+c2+…+cn＝n+2（1﹣+﹣+…+﹣）＝n+2（1﹣）=22521nnn19．解：（1）函数f（x）＝x2﹣lnx（x＞0）的导数为()fx＝2x﹣＝，由()fx＞0，可得x＞；()fx＜0，可得0＜x＜，则f（x）的增区间为（，+∞），减区间为（0，）；（2）函数f（x）＝x2﹣lnx（x＞0）的导数为()fx＝2x﹣＝，由()fx＝0，可得x＝∈1,22，可得f（x）的最小值为f（）＝；由f（）＝+ln215144，f（2）＝12ln2213222，可得f（2）＞f（），即有f（x）的最大值为12ln22．20．（1）证明：取AD的中点O，连OC，OP，∵△PAD为等边三角形，且O是边AD的中点，-7-∴PO⊥AD，∵平面PAD⊥底面ABCD，且它们的交线为AD，∴PO⊥平面ABCD，∴BA⊥PO，∵BA⊥AD，且AD∩PO＝O，∴AB⊥平面PAD，∴PD⊥AB．（2）分别以OC，OD，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则，∵∴，∴，即：，设，且是平面ABM的一个法向量，∵，∴，取，而平面ABD的一个法向量为，∴，∴，∵0＜λ＜1，∴．21．解：（1）由题意知，b＝，F（c，0），A（﹣c，0），则，，由＝2，得c＝，解得：c＝2．∴a2＝b2+c2＝6，-8-∴椭圆的方程为，（2）A（3，0），设直线PQ的方程为y＝k（x﹣3），联立，得（1+3k2）x2﹣18k2x+27k2﹣6＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．∴＝k2（）＝．由已知得OP⊥OQ，得x1x2+y1y2＝0，即，解得：k＝，符合△＞0，∴直线PQ的方程为y＝．22．解：（1）因为f'（x）＝2x﹣a，所以f'（1）＝2﹣a，因为y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线xy21垂直，所以2﹣a＝2，解得a＝0．…………………………2分（2）因为F（x）＝f（x）g（x）＝（x2﹣ax﹣a）ex，所以F'（x）＝（x﹣a）（x+2）ex，因为a＞0，所以当x＜﹣2或x＞a时，F'（x）＞0；当﹣2＜x＜a时，F'（x）＜0，所以F（x）在区间（﹣∞，﹣2）和（a，+∞）单调递增；在（﹣2，a）单调递减，即当x＝﹣2时，F（x）取极大值，当x＝a时，F（x）取极小值，因为函数F（x）在（﹣3，3）内存在两个极值点，所以0＜a＜3．。。。。。。。。7分-9-（3）因为函数g（x）在[0，3]上单调递增，所以g（x1）﹣g（x2）＞0，所以|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|对任意的x1，x2∈[0，3]，且x1＞x2恒成立，等价于g（x2）﹣g（x1）＜f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）对任意的x1，x2∈[0，3]，且x1＞x2恒成立，即对任意x1，x2∈[0，3]，且x1＞x2恒成立，所以f（x）+g（x）在[0，3]上是单调递增函数，f（x）﹣g（x）在[0，3]上是单调递减函数，由()fx+g'（x）≥0在[0，3]上恒成立，得（2x﹣a）+ex≥0在[0，3]恒成立，即a≤ex+2x在[0，3]恒成立，而ex+2x在[0，3]上为单调递增函数，且在[0，3]上取得最小值1，所以a≤1，由()fx﹣g'（x）≤0在[0，3]上恒成立，得（2x﹣a）﹣ex≤0在[0，3]上恒成立，即a≥2x﹣ex在[0，3]上恒成立，令t（x）＝2x﹣ex则t'（x）＝2﹣ex，令t'（x）＝0，得x＝ln2，因为t（x）在[0，ln2]上递增，在[ln2，3]上单调递减，所以t（x）在[0，3]上取得最大值2ln2﹣2，即a≥2ln2﹣2，所以实数a的取值范围为[2ln2﹣2，1]…………………………12分