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1.已知函数211yx的一组数据:求分段线性插值函数,并计算1.5f的近似值.计算题1.答案1.解0,1x,1010.510.50110xxLxx%1,2x,210.50.20.30.81221xxLxx%所以分段线性插值函数为10.50,10.80.31,2xxLxxx%1.50.80.31.50.35L%4.写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分1011dxx.计算题4.答案4解梯形公式2babafxdxfafb应用梯形公式得101111[]0.75121011dxx辛卜生公式为[4()]62babaabfxdxfaffb应用辛卜生公式得1011010[04()1]162dxfffx1111[4]161011122536四、证明题(本题10分)确定下列求积公式中的待定系数,并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度1010hhfxdxAfhAfAfh证明题答案证明:求积公式中含有三个待定系数,即101,,AAA,将21,,fxxx分别代入求积公式,并令其左右相等,得1011123112()02()3AAAhhAAhAAh得1113AAh,043hA。所求公式至少有两次代数精确度。又由于3334443333hhhhhhxdxhhhhxdxhh故40333hhhhfxdxfhffh具有三次代数精确度。1.设3201219(),,1,44fxxxxx(1)试求fx在19,44上的三次Hermite插值多项式x使满足''11()(),0,1,2,...()()jjHxfxjHxfxx以升幂形式给出。(2)写出余项()()()RxfxHx的表达式计算题1.答案1、(1)3214263233122545045025xxxx(2)522191919()(1)(),()(,)4!164444Rxxxxx3.试确定常数A,B,C和a,使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少?它是否为Gauss型的?计算题3.答案3、101612,,995ACBa,该数值求积公式具有5次代数精确度,它是Gauss型的4.推导常微分方程的初值问题00'(,)()yfxyyxy的数值解公式:'''1111(4)3nnnnnhyyyyy(提示:利用Simpson求积公式。)计算题4.答案4、数值积分方法构造该数值解公式:对方程()yfx’在区间11,nnxx上积分,得1111()()(,())nnxnnxyxyxfxyxdx,记步长为h,对积分11(,())nnxxfxyxdx用Simpson求积公式得1111112(,())()4()()(4)63nnxnnnnnnxhhfxyxdxfxfxfxyyy’’’所以得数值解公式:1111(4)3nnnnnhyyyyy’’’(1).(15分)用二次拉格朗日插值多项式2()sin0.34Lx计算的值。插值节点和相应的函数值是(0,0),(0.30,0.2955),(0.40,0.3894)。计算题1.答案1)0201122012010210122021()()()()()()()()()()()()()=0.333336xxxxxxxxxxxxLxfffxxxxxxxxxxxx4).(15分)求系数123,,AAA和使求积公式1123111()(1)()()233fxdxAfAfAf对于次数的一切多项式都精确成立。计算题4.答案4)12312312312311112203399313022AAAAAAAAAAAA三、计算题(70分)1.(10分)已知f(0)=1,f(3)=2.4,f(4)=5.2,求过这三点的二次插值基函数l1(x)=(),]4,3,0[f=(),插值多项式P2(x)=(),用三点式求得)4(f().计算题1.答案1.1777203(4),,1(3),31215126xxxxx由插值公式可求得它们分别为:和3.(15分)确定求积公式)5.0()()5.0()(111CfxBfAfdxxf的待定参数,使其代数精度尽量高,并确定其代数精度.计算题3.答案2312131141()1,,,20.50.5020.250.2530.1250.125042,331()[4(0.5)2(0)4(0.5)],(),32156fxxxxABCABxCABxCABxCACBfxdxffffxx3.假设公式对精确成立则有解此方程组得求积公式为当时左边右边左3边右边代数精度为。4.(15分)设初值问题101)0(23xyyxy.(1)写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式;(2)写出用改进的Euler法(梯形法)、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式,并求解21,yy,保留两位小数。计算题4.答案4.1(1)0.1(32)0.31.2nnnnnnyyxyxy1111120.20.2(2)(32)3(0.2)22=0.1(6220.6)333244033363331.575,2.585240240440nnnnnnnnnnnnnyyxyxyyxyyyyxyy迭达得5.(15分)取节点1,5.0,0210xxx,求函数xey在区间]1,0[上的二次插值多项式)(2xP,并估计误差。计算题5.答案5.)5.0)(0(0105.015.01)0(05.01)(5.05.015.002xxeeexeexp=1+2()5.0()12(2)15.015.0xxeexe)1)(5.0(!3)()(,1max,21,0''3''xxxfxpeyMeyxxx时10x,)1)(5.0(!31)(2xxxxpex二、计算题1、已知函数()yfx的相关数据由牛顿插值公式求三次插值多项式3()Px,并计算13()2P的近似值。计算题1.答案解:差商表由牛顿插值公式:323332348()()21,331411813()()2()()12232232pxNxxxxp2、(10分)利用尤拉公式求解初值问题,其中步长0.1h,1,(0,0.6)(0)1.yyxxy。计算题2.答案解:010(,)1,1,0.1,0.1(1),(0,1,2,3,)1,1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;1.056100;1.090490;1.131441.nnnnkfxyyxyhyyxynyy3、(15分)确定求积公式012()()(0)()hhfxdxAfhAfAfh。中待定参数iA的值(0,1,2)i,使求积公式的代数精度尽量高;并指出此时求积公式的代数精度。计算题3.答案解:分别将2()1,,fxxx,代入求积公式,可得02114,33AAhAh。令3()fxx时求积公式成立,而4()fxx时公式不成立,从而精度为3。4、(15分)已知一组试验数据如下:求它的拟合曲线(直线)。计算题4.答案解:设yabx则可得515311555105.5abab于是2.45,1.25ab,即2.451.25yx。1、(10分)已知数据如下:求形如bxay1拟合函数。计算题1.答案解:55552111111,,9,17.8,16.971,35.9025916.971917.835.39022.05353.026512.05353.0265iiiiiiiiiabxzzabxyyxxzzxababyx令则解此方程组得拟合曲线为2、(15分)用二次拉格朗日插值多项式2()Lx计算sin0.34。插值节点和相应的函数值如下表。计算题2.答案解:过点001122(,),(,),(,)xfxfxf的二次拉格朗日插值多项式为0201122012010210122021()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxLxfffxxxxxxxxxxxx代值并计算得2sin0.34(0.34)0.33336L。3、(15分)利用改进的尤拉方法求解初值问题,其中步长0.2h,(0,0.8)(0)1.yyxxy。计算题3.答案解:1111(),[()()],2nnnnnnnnnnyyhyxhyyyxyx0(0,1,2,3,)1,nyL1.000000;1.240000;1.576800;2.031696;2.630669;3.405416.ky4、(15分)已知012113,,,424xxx(1)推导以这三点为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式10120113()()()()424fxdxAfAfAf;(2)指明求积公式所具有的代数精度;(3)用所求公式计算120xdx。计算题4.(1)答案计算题4.(2)&(3)答案(2)所求的求积公式是插值型,故至少具有2次代数精度,再将34(),fxxx代入上述公式,可得13333014444011113[2()()2()],4342411113[2()()2()],53424xdxxdx故代数精度是3次。(3)由(2)可得:12222011131[2()()2()]34243xdx。(1)所求插值型的求积公式形如:10120113()()()()424fxdxAfAfAf111120000001021110211000101210122020213()()()()224();1113()()3()()424413()()()()144();1113()()3()()2424()()()()(xxxxxxAlxdxdxdxxxxxxxxxxxAlxdxdxdxxxxxxxxxAlxdxxxx1100111()()242;3131)3()()4442xxdxdxx101113()[2()()2()]3424fxdxfff故。二、计算题1).(15分)设3201219(),,1,44fxxxxx(1)试求()fx在19[,]44上的三次Hermite插值多项式()Hx使满足()(),0,1,2,...'()'()jjHxfxjHxfx,()Hx以升幂形式给出。(2)写出余项()()()RxfxHx的表达式(1)32142632331()25545045025Hxxxx(2)522191919()()(1)(),()(,)4!164444Rxxxxx3).(15分)确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精确度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精确度.计算题3.答案令2()1,,fxxx代入公式精确成立,得
本文标题:数值计算方法期末考试题
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