线性代数九大经典题型

第一题，例1已知12342211923451122aaaaA==，则代数余子式2122?AA+=解：根据代数余子式求行列式性质21222324212223242()92()0AAAAAAAA+++=⎧⇒⎨+++=⎩2122AAx+=，2324AAy+=2920xyxy+=⎧⇒⎨+=⎩2122663xAAy=⎧⇒⇒+=⎨=-⎩例2设A是3阶矩阵，1A-的特征值是1,2,3，则112233?AAA++=解：设111213212223313233aaaAaaaaaa⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则112131*122223132333AAAAAAAAAA⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦***112233123AAAlll++=++1*||AAAAaaalaaall-=⇒=⇒=***111112233123123123||||||||||||AAAAAAAAAlllllllll---++=++=++=++1111*2*3*1666=++=例3设A是3阶矩阵，A的特征值是2,1,1-，第二列是[]1,1,1T，求11232113AAAA-解：设111321233133111aaAaaaa⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则112131*122232132333AAAAAAAAAA⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由题意可知||2*1*12A=-=-1根据代数余子式求行列式性质⇒121222223232121122213231121322233233200aAaAaAaAaAaAaAaAaA++=-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩Q第二列是[]1,1,1T⇒122232112131132333200AAAAAAAAA++=-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩11213111211121311121*12223212221222321222132333133213233313320||20AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA++==++=-++2311232113123||||||2222*(1)()****4112AAAAAAAlll+---=---===-112321132AAAA-=【点评】因为具体数字的行列式计算比较简单，所以不太会考具体数字行列式计算。以上3题（除了第1题）都不是具体数字行列式计算，而是运用公式计算。主要运用公式：112233112233112233112233||.......,(1,2,...,)||.......,(1,2,...,).......0().......0()iiiiiiininjjjjjjnjnjijijijinjnjjjjjjnjnjAaAaAaAaAinAaAaAaAaAjnaAaAaAaAijaAaAaAaAij=++++==++++=++++=≠++++=≠第3题比较难，大家可以细细品味第二题，()aA为N阶矩阵，秩为R，如果A只有0,1特征值，是推不出有R个特征值1，NR-个特征值0。例如010000001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，以此类推……..结论：只有A可对角化，才能推出有R个特征值1，NR-个特征值0。()b对于两个非零列向量,ab(n维)，TAab=有如下结论21()1rA=，且反之也成立，即秩为1的矩阵可以分解为列向量与行向量相2A满足矩阵方程2()0TAAba-=3A有特征值10(1nl=-重)，2(1Tlba=重)。且2Tlba=所对应的所有特征向量ka，0k≠()TTAaababaa⎡⎤==⎣⎦，10l=所对应的特征向量(0*)0EAx-=的解0Ax⇒=⇒10l=有1n-个线性无关的特征向量4当0Tba≠，A一定可以对角化。当0Tba=，A一定不可以对角化例子1设,ab为两个3维非零列向量，记TAab=，则0l=为几重根？由()b第4条结论可知：当0,TAba≠一定可以对角化，再由()b第3条结论可知，有312-=个0根当0,TAba=一定不可以对角化，200TTAAababl==⇒=，所以全是0根综上，0l=至少为2重根例子2A为N阶矩阵，秩为R，有22AA=，能否推出R个特征值2，NR-个特征值0?证明：由Aala=可知，212202,0llll-=⇒==*2AAA=Q，∴A的列向量为特征值2所对应的特征向量.又Q()rAR=，∴特征值2对应了R个线性无关的特征向量(0*)00()()EAxAxrARrAR-=⇒-=⇒-=⇒=Q根据0Ax=齐次方程根解的个数⇒特征值0所对应了NR-个线性无关的3解向量∴根据对角化定义知A有R个特征值2，NR-个特征值0，A可对角化，即(1)(1)(1)()()()()(1)()()00002NNRNRNNNA--⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠K:MML第三题，A为N阶矩阵，证明1()()nnrArA+=证明：当100nnAxAx+=⇒=10nAx+=，当A可逆⇒00nnAAxAx=⇒=当A不可逆，即10nAx+=有非零解即10nAb+=，假设10nAb+=，0nAb≠10nAb+=…..1()0nAAb+=…..12()0nAAb+=…..13()0nAAb+=………….1()0nnAAb+=1nA+至少有1n+个解，与至少n个解矛盾所以100nnAAbb+=⇒=∴10nAx+=与0nAx=同解∴1()()nnrArA+=【点评】一般来说证明1()()nnrArA+=，都是用同解的思路第四题，1，证明若P为列满矩阵（即P的秩为其列数），则()()rPBrB=2，设*mn实矩阵A为列满矩阵（即()rAn=），试证：TAA有m个大于等于0特征值（即0l≥）解：1，00BxPBx=⇒=，属于矩阵B的解也属于矩阵PB的解4当0PBx=，QP为列满矩阵∴00PBxBx=⇒=∴0Bx=与0PBx=同解∴()()rPBrB=2，()rAn=Q,0Ax∴=⇒只有零解当00xAx∴≠⇒≠()TTTAAAA=⇒QTAA是对称矩阵()0TTTxAAxAxAx=Q∴TAA为正定矩阵⇒()TrAAn=存在特征向量ia且所对应的特征值il有TiiiAAala=，0ilTiiiAAAAala=即il为TAA中特征向量iAa对应的特征值QTAA正定，TiiiAAala=，()TrAAn=∴il共有n个，且都大于0-------------------------------------（1）又()()TTrAArAn==Q根据第1小题的结论可知0TAAx∴=有mn-个0重根----------------------------------（2）综上，TAA有m个大于等于0特征值（即0l≥）【根据（1）+（2）得出的】【点评】第1小题比较好做，通过同解即可求证。第1小题属于基本思路。第2小题是比较难的，难在综合知识点的串联，这里涉及到方程组解、合同、正定、特征值与特征向量这些知识点，第2题不要求会做，但一定要看懂，开拓大家的思路，加强对“线代”思考方向的能力第五题，例15设1210110Aaa⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，B为3阶非零矩阵且满足0BA=，求矩阵B由0BA=有()()3rArB+≤，又A，B均为非零矩阵，有()1rA≥，()1rB≥所以1()2rA≤≤，1()2rB≤≤212101(1)0110Aaaaa==--=⇒=由0BA=有0TTAB=，那么TB的列向量是齐次方程组0TAx=的解101101211011110000TA⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=→-⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠知0TAx=的通解为()111k-，其中k为任意常数那么,TmnlBmnlmnl---⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠其中m，n，l是任意不全为0的常数.所以mmmBnnnlll-⎛⎞⎜⎟=-⎜⎟⎜⎟-⎝⎠，其中m，n，l是任意不全为0的常数.例2已知线性方程组的通解为()()21431234xk=-+-，试求此方程组解：由题意可知所求方程组为四元非齐次方程组，记为Axb=，且特解为()1234T-，基础解系为()2143T-。所以()3rA=不妨设111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，()123Tbbbb=6由[]2102143043TAA⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⇒-=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⇒A的每个行向量转置为[]21430x-=的解，此方程组的基础解系为123100243,,010001xxx⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即可作为A的行向量转置⇒对应的齐次方程组为122324204030xxxxxx-=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩将特解()1234T-代入Axb=得，1233,5,2bbb=-==-⇒所求方程组122324234532xxxxxx-=-⎧⎪+=⎨⎪-+=-⎩【点评】这2小题都有一个共同的思想，0AB=立马想到0TTBA⇒=这是“线代”又一思维定势，你想到了嘛？第六题，例1设A是N阶反对称矩阵，试证明（1）A可逆的必要条件是N为偶数（2）如果l是A的特征值，那么l-也必是A的特征值（3）2EA-为正定矩阵（1），解：按照反对称矩阵定义得TAA=-，那么(1)TnAAAA==-=-即1(1)0nA⎡⎤--=⎣⎦，若21nk=+，必有0A=.所以A可逆的必要条件是N为偶数（2），如果l是A的特征值，有0EAl-=，那么7()TTEAEAEAlll--=--=--()(1)0nEAEAEAlll=-+=--=--=所以l-是A的特征值（3），222()()TTEAEAEA-=-=-，所以2EA-为对称矩阵22()TTTTxEAxxExxAxExAAx-=-=-()0TTTExAAxEAxAx=+=+所以2EA-为正定矩阵例2已知A是21n+阶方阵，且TAAE=，证明2||0EA-=证明：22|||||(|()|||)|TTTEAAAAAAAAAA-=-=--=22|||||(||||||)|TTTTAAAAAEAAAAA==-=-=--22122|(1)()|(1)||||nEAEAEA+=--=--=--2||0EA⇒-=【点评】理解反对称矩阵的定义，这个定义会被很多同学所忽视。一般证明抽象行列式相等时都要用到TAA=。尤其题目中提到“转置”这个词时，100%用到TAA=这个结论第七题，例1设A是N阶矩阵，且AE+不可逆，若秩()()rAErAEN++-=，证明（1）2AE=（2）求行列式2AE+的值8（1）解：设秩()rAEM+=，则齐次方程组()0,EAx+=有NM-个线性无关的解，易知矩阵A属于特征值1l=-的线性无关的特征向量有NM-个，设为1,........MNaa+又由已知有()rAENM-=-，那么齐次方程组()0EAx-=有()NNMM--=个线性无关的解，易知矩阵A属于特征值1l=的线性无关的特征向量有M个，设为1,........Maa.令()1,........1,........,MMNPaaaa+=，则P可逆，且1MNMEPAPE--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦那么12()PAPE-=⇒2AE=（2）因为MNMEAE-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦:，所以32MNMEAEE-⎡⎤+⎢⎥⎣⎦:故23MAE+=例2设A是N阶矩阵，若2AE=，则()()rAErAEN++-=证明：()()[]2()()()()NrErErAEAErAErAE===+--≤++----(1)[]2()()()()rAErAENrAEAErAE⎡⎤++--≤+-=-⎣⎦-----------(2)⇒2()()rAErAErAEN⎡⎤++-≤-+⎣⎦Q2AE=∴20rAE⎡⎤-=⎣⎦()()rAErAEN++-≤∴()()NrAErAEN≤++-≤则()()rAErAEN++-=9例3设A是3阶矩阵,且满足2AE=，但是AE≠±，证明[][]()1*()10rAErAE+---=解：2AE=，20()()0AEAEAE-=⇒+-=()()[]32()()()()rErErAEAErAErAE===+--≤++-2()()33rAErAErAE⎡⎤++-≤-+=⎣⎦()()3rAErAE∴++-=QAE≠±，故()rAE+，()rAE-都大于等于1，