数学52《任意角的三角比》教案(沪教版高中一年级-第二学期)

5.2(1)任意角的三角比一、教学内容分析通过平面直角坐标系定义了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个三角比，并利用与单位圆有关的线段，将前三个三角比的值分别用它们的几何形式表示出来；接着着重研究正弦、余弦、正切这三个三角比的条件和其在各个象限的符号；并根据三角比的定义，得出“终边重合的角的同一三角比的值相等”的结论及把此结论表示成为第一组诱导公式（公式一）．二、教学目标设计(1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；(2)了解余切、正割、余割的定义；掌握正弦、余弦、正切等三角比对角的条件要求；(3)体会同一角三角比的值，不因在其终边上取点的变化而变化，从而启示在研究问题时，要能在千变万化中，抓住事物的本质属性，不被表面现象所迷惑．三、教学重点及难点重点：任意角的三角比的定义．难点：用单位圆中的有向线段表示角的正弦、余弦、正切值．四、教学流程设计五、教学过程设计一、情景引入回顾：在初中我们学习了锐角的三角比，它是在直角三角形的条件下，通过角的对边、邻边与斜边之间两两的比值来定义的.例如：sinMPOPcosOMOP实例引入概念辨析巩固练习总结提炼作业及反馈拓展与思考OPMtanMPOMcotOMMP引入：前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们研究任意角的三角比.把锐角置于平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.易知P在角的终边上，设它的坐标为(,)xy，它与原点的距离220rxy，可发现作为锐角的三角比能用其终边上的点的坐标来定义，而这种定义方法可用于定义任意角的三角比.二、学习新课1、概念形成任意角的三角比定义设是一个任意角，在的终边上任取一点(,)Pxy（除原点），则P与原点的距离220rxy，比值ry叫做的正弦记作：rysin比值rx叫做的余弦记作：rxcos比值xy叫做的正切记作：xytan比值yx叫做的余切记作：yxcot比值xr叫做的正割记作：xrsec比值yr叫做的余割记作：yrcsc提问：对于确定的角，这六个三角比值的大小与P点在角终边上的位置是否有关？利用相似三角形的知识，可以得出对于确定的角，这六个三角比值的大小与P点在角的终边上的位置无关．提问：根据这六个三角比的定义，是否对于任意的一个角，它的六个三角比都存在呢？(1)当角的终边在纵轴上时，即()2kkZ时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tan、sec无意义；(2)当角的终边在横轴上时，即()kkZ时，终边上任意一点P的纵坐标y都为0，xyo(,)Pxy角的终边所以cot、csc无意义.从而有：sincostan)(2ZkkRRcotseccsc)()(2)(ZkkZkkZkk.[说明](1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.(2)OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的.(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积，其余五个符号也是这样.(4)三角比值只与角的大小有关.(5)任意角三角比的定义与锐角三角比的定义的联系与区别:任意角的三角比就包含了锐角三角比，实质上锐角三角比的定义与任意角的三角比的定义是一致的，锐角三角比是任意角三角比的一种特例.所不同的是，锐角三角比是以边的比来定义的，任意角的三角比是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的.为了便于记忆，我们可以利用两种三角比定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角比进行类比记忆.2、三角比的一种几何表示（一）单位圆和有向线段(1)单位圆：半径等于单位长度1的圆叫做单位圆.(2)有向线段（非严格定义）：带有方向的线段叫做有向线段.设任意角的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)Pxy，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点(1,0)A作单位圆的切线，设它与角的终边（当在第一、四象限角时）或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于T.规定：当OM与x轴同向时为正值，当OM与x轴反向时为负值；当MP与y轴同向时为正值，当MP与y轴反向时为负值；当AT与y轴同向时为正值，当AT与y轴反向时为负值；根据上面规定，则,OMxMPy,利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线.如下图3．图3由正弦、余弦、正切三角比的定义有：sin1yyyMPrcos1xxxOMrtanyMPATATxOMOA这几条与单位圆有关的有向线段,,MPOMAT叫做角的正弦线、余弦线、正切线．当角的终边在x轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线则不存在．例1：已知角的终边经过点(2,3)P，求的六个三角函数值.答：13133133sinry13132132cosrx23tanxy32cotyx213secxr313cscyr提问：若将(2,3)P改为(2,3)(0)Paaa，如何求的六个三角函数值呢？（注意：分0a和0a两种情况进行讨论）例2：求下列各角的六个三角比值(1)(2)32(3)54答：(1)sin0,cos1,tan0,cot不存在，sec1，csc不存在.(2)333sin1,cos0,tan222不存在,3cot02，3sec2不存在，3csc12.(3)52525sin,cos,tan142424,5cot14，5sec24，5csc24.例3：作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线(1)3(2)23如图，正弦线、余弦线、正切线分别为,,MPOMAT．例4.求证：当为锐角时，sintan．证明：如右图，作单位圆，当02时作出正弦线MP和正切线AT，连PA，OPAOATOPASSS扇形，111222OAMPOAPAOAATsintan三、巩固练习练习5.2（1）四、课堂小结（1）任意角的三角比的定义；（2）三角比的几何表示——三角函数线；（3）掌握分类讨论的思想（主要对象限的讨论）；（4）掌握数形结合的思想（对三角函数线的理解及其应用）；五、课后作业练习册P15－17习题5.2A组1，2，3，9，10习题5.2B组1，4六、教学设计说明1、由任意角的三角比的定义可知，若已知角终边上一点，便可求出其各三角比的值，或通过三角比的定义，可知其二求其一．（2）必须讲清并强调,,,,,yxyxrrrrxyxy这六个比值的大小都与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关．（3）教学中应注意，语言要准确严密．（4）教学中，应当引导学生深刻认识三角比符号的含义．如sin这个符号，它表示yr，即角的正弦，不能把sin看成sin与的乘积．同时也应注意，每个三角比记号的第一个字母“”或“”或“”都不能大写，不能让学生写成“Sin”、“Cos”等．（5）本设计中的某些问题可能适合部分学生，教师应作适当选择.