导数的四则运算法则(上课用)

1(),()fxcfx、若则基本初等函数的导数公式:2(),()nfxxfx、若则3()sin,()fxxfx、若则4()cos,()fxxfx、若则01nnxcosxsinx5(),()xfxafx、若则6(),()xfxefx、若则7()log,()xafxfx、若则8()ln,()fxxfx、若则lnxaaxe1lnxa1x常函数幂函数三角函数指数函数对数函数导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是:))(()(000xxxfxfy)(0xfk切线例1.跳水运动员距离水面的高度满足(1)用图形来体现导数，的几何意义(2)物理意义是什么.105.69.4)(2ttth3.3)1(/h6.1)5.0(/hh0.15.0Ot例2:求曲线y=f(x)=x2在点P(1,1)处的切线方程.12(1)yx210xy求切线方程的一般步骤：))((3)(2,100'00'00xxxfyyxfkyxP）点斜式（）斜率（）（）切点（）的切线方程在点（求双曲线例212,13xy044yx的切线方程过点求抛物线例)6,25(42xy09-6044yxyx或相切的直线方程）且与曲线求过点（练习31,1xy014-3023yxyx或.5keykxyx的切线，求是、已知直线例ek按定义求导数有哪几个步骤？（1）求函数的改变量)()(xfxxfy奎屯王新敞新疆（2）求平均变化率xxfxxfxy)()(奎屯王新敞新疆（3）取极限，得导数'y()fxxyx0lim奎屯王新敞新疆()()fxgx()()fxgx1、和(差)的导数：2、积的导数：()cfx()()fxgx推论：3、商的导数：（C为常数）()()fxgx()()()()fxgxfxgx()cfx2()()()()()fxgxfxgxgx(()0)gx导数的运算法则时，特别当1)(xf)()(])(1[2xgxgxg例1．求多项式函数f(x)=的导数。1011nnnnaxaxaxa解：f/(x)=1011()'nnnnaxaxaxa12011(1)nnnanxanxa例2．求y=xsinx的导数。解：y/=(x·sinx)/=x/·sinx+x·(sinx)/=sinx+xcosx.例3．求y=tanx的导数。解：y/=sin()'cosxx22coscossinsin1coscosxxxxxx43(2)(2)(2)yxxxsin(4)21xxye(3)sincosyxx求下列函数的导数52(1)238yxxxxxfln)()5(xxexf)()6(xxxfln)()7(21)()8(xxxfxxxxfcossincos)()9(xxftan)()10(.43|2xy例4：求函数在x=2处的导数.xxy11．曲线y=x3＋x2＋l在点P(－1，1)处的切线方程为.y=x＋22．已知抛物线y=x2＋bx＋c在点(1，2)处与直线y=x＋1相切，求b，c的值．12bc例6．求y=sin2x的导数。解：y/=(2sinxcosx)/=2(cosx·cosx－sinx·sinx)=2cos2x.复合函数的概念:对于函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.例1．已知可导函数y=f(u),且u=ax+b(a,b为常数,a≠0),求.dydx解：设x有一改变量△x，则对应于u，y分别有改变量△u，△y，由yyuxux得000limlimlimxuxyyuxux而0lim'()xuuxax所以[()]'udyafudx再将u=ax+b代入上式便得到dydx叫做微商亦叫导数自变量的无穷小量叫做自变量的微分，函数值的无穷小量叫做函数值的微分dxdydxdy)()(20.051(1)(23)(2)(3)sin()xyxyeyx例2、求下列函数的导数注：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，在熟练以后，就不必再写中间步骤。由外到内，逐层求导，再相乘。2(1),23yuux''2,2uxyuu'''xuxyyu'812224xuxyu(2),0.051uyeux'''()'(0.051)'uxuxyyuex0.0510.00.055uxee(3)cos()yxxylne(4)32xxey(e)(4)32例3:设f(x)可导,求下列函数的导数:(1)f(x2);(2)f();21x解:);(2)()()1(222xfxxxfy);1(1122)1()2(2222xfxxxxxfy说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则.2228811fxRfx=fxxx,yfxfA.yxB.yxC.yxD.yx已知函数在上满足则曲线=在点，处的切线方程为=2-1==3-2=练习-2、+3A2．求证：可导的奇函数f(x)的导函数f/(x)是偶函数．证明：∵f(x)是奇函数，∴对f(x)定义域D内任一个x，有－x∈D,且有f(－x)=－f(x)．分别对上式左、右两边求导：[f(－x)]/=f/(－x)·(－x)/=－f/(－x)，[－f(x)]/=－f/(x)，∴－f/(－x)=－f’(x)，即f/(－x)=f/(x)，∴f’(x)是偶函数．3．若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，且f(x)，g(x)满足f/(x)=g/(x)，则f(x)与g(x)满足（）（A）f(x)＝g(x)（B）f(x)－g(x)为常数函数（C）f(x)=g(x)=0（D）f(x)+g(x)为常数函数B练习求下列复合函数的导数ysinxx)()11xylne)322)233ylogcosx求下列复合函数的导数解:练习ysinxx)()11''2''''211)sin,1cos,111(1)cos()uxxuxxyuuxxyuuxyyuyxxx解:求下列复合函数的导数练习xylne)3223'''32'''''3232)n,,211,,31123(2)3(2)xxuvxxuvxxxxxxxyluuvveyuveuvyyuvyeeeee22221(sin)()osln32tanln3yxxcxxx求下列复合函数的导数练习解:)233ylogcosx练习:求下列函数的导数342211).(2)12).123).1yxxxyxyxx'2(1).2sin(4)3yx2(1).sin(2)3yxsin2(2)(1)(3)(4)ln||xxxxxyeeeyeeyxsinsin(2)2(1)cosxxyeex2224(3)(1)xxeye1(4)yx练习:求下列函数的导数例6．如图，设有圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O点匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下列四种情况中的哪一种？D练习：如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(B)htO(C)htO(D)htO(A)htOBADC32311(2)5sinlog43xyxxxx32(3)(4)yxx2(4)(21)(32)xyxxe(8)tanyx2(5)21xyx(7)2lnxyx(6)5cosxyx练习：求下列函数的导数32(1)325yxx2532log(3)xxyx2(1)(21)(3ln2)yxx23(4)cosxxyx(2)sxyeinx1、求下列函数的导数