第3章--静定结构的内力计算

第3章静定结构的内力计算东南大学-结构力学课程组制作静定结构—在任意荷载下，未知力仅用静力平衡方程即可完全确定未知力数＝独立静力平衡方程数超静定结构—未知力仅由静力平衡方程不能完全确定未知力数独立静力平衡方程数重要性—是结构位移计算、超静定结构内力计算乃至整个结构力学课程的基础3.1引言要求：深入理解静定结构内力计算的原理熟练掌握静定结构内力计算的方法了解静定结构的特性和各类结构的受力特点几何组成分析与本章的关系：判断结构是否静定静定↔几何不变且无多余约束提示分析途径，简化内力计算内力计算前先作组成分析，事半功倍3.1引言3.2.1隔离体平衡法隔离体—用截面切断若干杆件，将结构的一部分和其余部分分开隔离体平衡法—对隔离体应用平衡条件，列关于未知力的方程（组），解出未知力灵活性—隔离体可大可小（图3.1）大—整个上部结构（图3.1b）小—部分杆件（图3.1c）甚至一个结点（图3.1d、e、f）3.2静定结构内力计算的基本方法qPFCBGFEDAaaaahⅠⅠ(a)(b)qPFACBGFEDxAFyAFyBFqACEDyAFxAFNEGFNCDFQCDF(c)DQDAFQDCFQDAM(d)QDCMNDEFNDCFNDAFENEDFNEAFNEGF(e)AxAFyAFQADFNADFNAEF(f)图3-1(c)(d)(e)(f)3.2静定结构内力计算的基本方法关键—正确反映隔离体受力状态，不要遗漏外力“外力”分为两类：直接作用于隔离体的荷载其余部分对隔离体的作用力后一类对结构是内力，对隔离体是外力注意—分清二力杆和梁式杆分清不同支座对应的反力（表1.1）3.2静定结构内力计算的基本方法方向—已知力（矩）按实际方向未知力（矩）暂按正方向根据计算结果的符号确定其实际方向图3.1，FNEG－EG杆E端的轴力FQAD－AD杆A端的剪力MDA－DA杆D端的弯矩FxA、FyA－支座A在x方向和y方向的反力3.2静定结构内力计算的基本方法隔离体的平衡条件外力构成平面平衡力系，平衡条件为：ΣFx=0，ΣFy=0，ΣM=0（3.1）或ΣFx=0，ΣMA=0，ΣMB=0（3.2）其中A和B的连线不与x轴垂直；或ΣMA=0，ΣMB=0，ΣMC=0（3.3）其中A、B、C不共线。3.2静定结构内力计算的基本方法结点法和截面法结点法（桁架和组合结构常用）隔离体只含一个铰结点，被切断的都是二力杆，图3.1d，汇交力系，平衡条件为ΣFx=0，ΣFy=0（3.4）图3.1e，隔离体只含铰结点A，两杆不都是二力杆，但梁式杆AD在无限接近A处被切断，可认为FQAD通过A，MAD=0，隔离体所受外力仍为汇交力系，也可应用结点法。ENEDFNEAFNEGF(e)AxAFyAFQADFNADFNAEF(f)3.1d3.1e3.2静定结构内力计算的基本方法■重要(易错)：不能遗漏剪力FQAD！截面法一般平面力系，用（3.1）/（3.2）/（3.3）求未知力。适用情况隔离体含多个结点（图3.1b、c）或虽只含一个结点，但该结点为刚结点或组合结点（图3.1f）仅由本身平衡条件能求出全部未知力的条件未知力数≤3没有三个未知力共点或相互平行也没有两个未知力的作用线重合■否则仅考虑隔离体本身是不够的还要用到其他隔离体的平衡条件DQDAFQDCFQDAM(d)QDCMNDEFNDCFNDAF3.1fqACEDyAFxAFNEGFNCDFQCDF(c)3.1c3.2静定结构内力计算的基本方法结点单杆和截面单杆单杆—二力杆，用一个平衡方程可求内力◆结点单杆■二力未知，且不共线两杆均为单杆（图3.2a，1、2为单杆）■三力未知，两杆共线第三杆为单杆（图3.2b，3为单杆）结点单杆内力的求法■向垂直于其余未知力的方向投影3.2静定结构内力计算的基本方法■图3.2a，如结点不受荷载（FP=0），则单杆1和2均为零杆；如FP沿一个单杆作用，则另一单杆为零杆。■图3.2b，如结点在垂直于非单杆1、2的方向无荷载，则单杆3为零杆。pFN2FN1F12123(b)图3-2(a)3.2静定结构内力计算的基本方法■确定零杆可简化桁架内力计算。图3.3a，1~6为零杆，受力与图3.3b相同B处竖杆也为零杆，竖向反力为零AB123456PF(a)ABPF(b)图3-33.2静定结构内力计算的基本方法◆截面单杆除一根二力杆外，其余共点（图3.4a）或平行（相交于无穷远点，图3.4b）“例外”者（图3.4中的杆1）为单杆截面单杆内力的求法其余杆件共点，向公共点取矩其余杆件平行，向公垂线投影1(a)1(b)图3-43.2静定结构内力计算的基本方法直杆荷载和内力的微分关系及增量关系内力正负号规定（图3.5a）轴力拉为正剪力顺时针为正弯矩下侧拉为正微分关系（图3.5b）：,ddxNqxF,ddyQqxFQFxMdd（3.5）增量关系（图3.5c）：ΔFN=-Fx，ΔFQ=-Fy，ΔM=M0（3.6）NFNFLMQFQFLRMRLR(a)NFNFMQFQFMyqxqNF+d+dQFM+d(b)NFMQF(c)0MxFyFMM+△NFNF+△QFQF+△3.2静定结构内力计算的基本方法有用的结论（用于直杆内力计算、作图和校核）：轴向荷载只影响轴力，横向荷载只影响剪力和弯矩，力偶荷载只影响弯矩剪力图的斜率＝横向分布荷载的集度，但符号相反；弯矩图的斜率＝剪力横向集中力作用处剪力图不连续但斜率不变，弯矩图连续但斜率改变无横向荷载作用时，剪力图和弯矩图为直线，剪力图平行（或重合）于杆轴，弯矩图一般为斜直线横向均布荷载下，剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线3.2静定结构内力计算的基本方法关于隔离体及平衡方程的选取顺序意图：力求一方程一未知力，避免联立方程。图3.1a，求FyA和FyB，图3.1bΣFy=0不好；ΣMB=0求FyA，再用ΣFy=0求FyB好。或由ΣMA=0求FyB。注意三根支杆都是截面单杆。一个隔离体常不够。求FNAD，图3.1e有6个未知力，MAD可用ΣMA=0求解，其余暂无法求解。为避免联立方程，可按以下顺序：图3.1b，由ΣFx=0求FxA，ΣMB=0求FyA；图3.1c，由ΣMC=0求FNEG；图3.1d(FNEG已知,EA和ED为单杆),由ΣFx=0求FNEA；图3.1e(FNAE=FNEA),由ΣFx=0求FNAD。AC杆不受轴向荷载，轴力不变，可在第2步求得FNEG之后，取图3.1c，由ΣFx=0求FNCD，进而求得FNAD。3.2静定结构内力计算的基本方法qPFCBGFEDAaaaahⅠⅠ(a)(b)qPFACBGFEDxAFyAFyBFqACEDyAFxAFNEGFNCDFQCDF(c)DQDAFQDCFQDAM(d)QDCMNDEFNDCFNDAFENEDFNEAFNEGF(e)AxAFyAFQADFNADFNAEF(f)图3-1(c)(d)(e)(f)3.2静定结构内力计算的基本方法3.2.2叠加法叠加原理一组荷载产生的反应（内力、反力、变形……）等于其中每一个单独产生的反应之和图3.6：lbFbFFyA22P11PlbFlbF22P11P12yAyAFF条件：小变形，列平衡方程时可以忽略变形。线弹性，应力与应变成正比。意义：将复杂问题分解为比较简单的问题。3.2静定结构内力计算的基本方法叠加法作直杆的弯矩图图3.7a，将AB所受的力和力矩分为两组：杆端弯矩及与之平衡的一部分杆端剪力，图3.7b荷载及与之平衡的另一部分杆端剪力，图3.7c图3.73.2静定结构内力计算的基本方法图3.7b的M图为直线，端点值＝杆端弯矩，图3.7e图3.7c的M图与代梁相同，图3.7f图3.7e和图3.7f叠加，得实际M图（图3.7d）结论：对于直杆段，在杆端弯矩图上叠加等代简支梁的弯矩图，就得到所求的弯矩图。M(x)=Me(x)+M0(x)（3.7）eM0MeM=+0M(d)(e)(f)图3-73.2静定结构内力计算的基本方法注意：叠加是纵标代数相加，不是图形简单拼合。•如果Me图不平行于杆轴，则M0图的基线倾斜，但它在杆轴上的投影不变；M0图的纵标仍⊥杆轴（不是⊥基线），其几何形状将改变，图3.7。分段叠加法：选控制截面(结点、集中力作用点…)，将结构分成若干段；计算控制截面的弯矩；作各段的Me图（直线）；对有横向荷载作用的杆段叠加M0图。3.2静定结构内力计算的基本方法◆按几何组成，静定结构可分为：悬臂式—以固定支座连接于地基不必先求反简支式—与地基按两刚片规则相连一般要先求反力三铰式—与地基按三刚片规则连接，或先按三刚片规则形成上部结构，一般要先求反力或拉杆的拉力复合式—重复应用以上规则复杂静定结构—不能按以上规则分析3.3静定结构内力计算举例3.3.1悬臂式静定结构例3-1悬臂式刚架（图3.8a）解1.定性判断各杆无轴向荷载→FN图均为直线，且与杆轴平行或重合CB和BD只受均布荷载→FQ图为斜直线，M图为抛物线AB和DE无横向分布荷载→FQ图∥杆轴，M图为斜直线20kN/mEBCA80kN4m4m4m1m(a)D3.3静定结构内力计算举例2.求控制点内力并作图（1）作轴力图取CB杆和DE杆为隔离体，得FNBC=FNDE=0取BDE为隔离体，得FNBD=–80kN取CBDE为隔离体，得FNBA=–160kN作FN图，图3.8c。注意标正负号。（2）作剪力图和弯矩图在自由端C和E，FQCB=MCB=0，FQED=80kN，MED=080160图NF(kN)(c)3.3静定结构内力计算举例取隔离体同上，依次求得（水平杆弯矩以下侧受拉为正；竖杆弯矩以右侧受拉为正）：FQBC=–80kN，FQDE=80kN，FQBD=80kN，FQBA=–80kN；MBC=–160kN·m，MDE=80kN·m，MBD=–240kN·m，MBA=–80kN·m在D左截断BD，取右边为隔离体，得FQDB=0在AB杆下端截断，取上部为隔离体，得MAB=320kN·m。作FQ图（符号）和M图（受拉边），图3.8d、e。3.3静定结构内力计算举例（3）校核方法：取计算中未用过的隔离体检查平衡条件是否满足。取结点B为隔离体（图3.8f），所有力和力矩均按实际方向画出。易见满足三个平衡条件。80808080(d)8032080(e)40160D160kN·m80kN·m80kN160kN80kN80kN80kN240kN·m(f)图3-8B3.3静定结构内力计算举例例3-2悬臂式桁架（图3.9a）解将斜杆FN分解为Fx和Fy，图3.9b。∵⊿(FN，Fx，Fy)∽⊿(l，lx，ly)∴FN:l=Fx:lx=Fy:ly（a）几何组成：从地基出发依次添加二元体C、D、E、F、G、H。简单桁架（另见例3-6）。内力计算用结点法，顺序：H、G、F、E、D、C，与添加二元体相反。无须先求反力—悬臂式特点。EFGHpFaaaa(a)1234IIIIⅠⅠABCDyxlNFNFxlylNFxFyF(b)3.3静定结构内力计算举例计算中，未知力对应的都是结点单杆。（1）结点H（图3.9c）FNHF=0；FP–FNHG=0→FNHG=FP（2）结点G（图3.9d）FP+FyGF=0→FyGF=–FP→FxGF=–FP，FNGF=–FPFP–FNGE=0→FNGE=FP2HPFNHFFNHGF(c)yxlNFNFxlylNFxFyF(b)3.3静定结构内力计算举例HPFNHFFNHGF(c)NFDFNFEFpFpF2pFF(e)EpFNECFpFxEDFNEDFyEDF(f)223.3静定结构内力计算举例（3）结点F（图3.9e）FNFD=–FP，FNFE=FP（4）结点E（图3.9f）FP+FyED=0→FyED=–FP→FxED=–FP，FNED=–FPFP+FP–FNEC=0，→FNEC=2FP（5）结点D和CFNDB=–2FP，FNDC=FP，FNBC=–FP，FNAC=3FP讨论：如果只求部分内力，用节点法明