定积分的性质

§4定积分的性质教学目的与要求：1.理解并掌握定积分的性质极其证明方法.2.逐步学会应用定积分的性质证明定积分的有关问题.教学重点，难点：1.定积分的性质极其证明方法.2.应用定积分的性质证明定积分的有关问题.教学内容：一定积分的基本性质性质1若f在[a,b]上可积，k为常数，则kf在[a,b]上也可积，且bbkfxdxkfxdxaa.（1）证当k=0时结纶显然成立.当k0时,由于11.,nniiiiiikfxkJkfxJ其中J=,dfab因此当f在[a,b]上可积时,由定义,任给0,0,,T存在当时1,niiifxJk从而1.niiikfxkJ即kf在［a,b］上可积，且.bbkfxdxkJkfxdxaa性质２若f﹑g都在［a,b］可积，则fg在［a,b］上也可积，且.bbbfxgxdxfxdxgxdxaaa（2）证明与性质１类同。注1性质１与性质２是定积分的线性性质，合起来即为,bbbafxgxdxafxdxgxdxaaa其中a﹑为常数。注2在f，g，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有任意两个在[a,b]上可积，则另外一个在[a,b]上可积.在f，g，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有一个在[a,b]上可积，一个在[a,b]上不可积，则另外一个在[a,b]上必不可积.性质３若f﹑g都在［a,b］上可积，则f·g在［a,b］上也可积。证由f、g都在［a,b］上可积，从而都有界，设Ａ＝,,supabfxＢ,,supabgx且Ａ＞０，Ｂ＞０（否则f、g中至少有一个恒为零值函数，于是f、g亦为零值函数，结论显然成立）。任给0,由f、g可积，必分别存在分割'T、T，使得',2fiiTxB.2giiTxA令'TTT（表示把T、T的所有分割点合并而成的一个新的分割T）。对于[a,b]上T所属的每一个i，有gfgfigfsup,.,'supigfffgg.gifiAB利用§3习题第1题，可知.fgfgiiiiiTTABA'fgiiiiTTBA,22BABA这就证得f·g在[a,b]上可积.注在一般情形下dxgabdxfabdxgfab.思考：有没有相除后可积的性质？若f﹑g都在［a,b］上可积，|f(x)|m0,x[a,b],则gf在[a,b]上可积.事实上，由条件可证1f在[a,b]上可积(本节习题第7题).再由性质3知1ggff在[a,b]上可积.性质4f在[a,b]上可积的充要条件是：任给[,]cab，在[a,c]与[c,b]上都可积。此时又有等式bcbfxdxfxdxfxdxaac（3）证[充分性]由于f在[a,c]与[c,b]上都可积，故任给0,分别存在对[a,c]与[c,b]的分割'TT与，使得''',2iiT.2iiT现令,'TTT它是[a,b]的一个分割,且有'.iiiiiiTTT由此证得f在[a,b]上可积.[必要性]已知f在[a,b]上可积,故任给0,存在对[a,b]的某分割T,使得.iT在T上再增加一个分点C,得到一个新的分割.T由§3习题第一题,又有.iiiiTT分割T在[a,c]和[c,b]上的部分,分别构成对[a,c]和[c,b]的分割,记为'TT和,则有''',iiiiTTiiiiTT这就证得f在[a,b]和[b,c]上都可积.在证得上面结果的基础上最后来证明等式(3).为此对[a,b]作分割T,恒使点C为其中的一个分点,这时T在[a,c]与[c,b]上的部分各自构成对[a,c]与[c,b]的分割,分别记为TT与'.由于''',iiiiiiTTTfff因此当'0,0,0TTT同时有时,对上式取极限,就得到(3)式成立.注性质4及公式(3)称为关于积分区间的可加性.当0fx时,(3)式的几何意义就是曲边梯形面积的可加性.如图9–10所示,曲边梯形AabB的面积等于曲边梯形AacC的面积与CcbB的面积之和.按定积分的定义,记号bfxdxa只有当a＜b时才有意义,而当a=b或a＞b时本来是没有意义的.但为了运用上的方便,对它作如下规定:规定1当a=b时，令aadxxf;0)(规定2当a＞b时，令baabdxxfdxxf.)()(有了这个规定之后，等式（3）对于a、b、c的任何大小顺序都能成立。例如，当a＜b＜c时，只要f在[a，c]上可积，则有cabccbbacbdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf)()()()()(=badxxf.)(性质5设f为[a，b]上的可积函数。若,,,0)(baxxf则badxxf.0)(（4）证由于在[a，b]上0f，因此f的任一积分和都为非负。由f在[a，b]上可积，则有baniiiTxfdxxf10.0)()(lim□推论（积分不等式性）若f与g为[a，b]上的两个可积函数，且),()(xgxfx[a，b]，则有babadxxgdxxf.)()(（5）证令Fxxfxgx,0)()()([a，b]，由性质2知道F在[a，b]上可积，且由性质5推得0()()(),bbbaaaFxdxgxdxfxdx不等式（5）得证.性质6若f在[a，b]上可积，则f在[a，b]上也可积，，且babadxxfdxxf.)()(（6）证由于f在[a，b]上可积，故任给ε＞0，存在某分割T，使得.fiiTx由绝对值不等式,)()()()(xfxfxfxf可得知,fifi于是有.ffiiiiTTxx从而证得f在[a,b]可积。再由不等式,fxfxfx应用性质5（推论），即证得不等式（6）成立。□注这个性质的逆命题一般不成立，例如为无理数为有理数xxxf,1,,1(在[0，1]上不可积（类似于狄利克雷函数）；但,1)(xf它在[0，1]上可积。例1求11,)(dxxf其中21,10,(),01.xxxfxex解对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即110110)()()(dxxfdxxfdxxf).1(1201)(10)()12(1120110eeexxdxedxxxx注1上述解法中取0101,)12()(dxxdxxf其中被积函数在x=0处的值已由原来的,10)12(10)0(xxxefx改为由§3习题第3题知道这一改动并不影响f在[-1，0]上的可积性和定积分的值。注2如果要求直接在[-1，1]上使用牛顿一菜布尼茨公式来计算11),1()1()(FFdxxf这时F（x）应取怎样的函数？读者可对照§2习题第3题来回答。例2证明：若f在[a,b]上连续，且babaxxfdxxfxf.,,0)(,0)(,0)(则证用反证法。倘若有某x0∈[a,b]使f00,x则由连续函数的局部保号性，存在0的某邻域时则为右邻域或左邻域或bxa0000,，使在其中00.2ffx由性质4和性质5推知dxfbdxfdxfadxfab00000000000,2xfdxf这与假设0dxfab相矛盾。所以.,,0baxxf。□注从此例证明中看到，即使f为一非负可积函数，只要它在某一点0x处连续，且00,fx则必有0.bfxdxa（至于可积函数必有连续点，这是一个较难证明的命题，读者可参阅§6习题第7题.）二积分中值定理定理9.7（积分中第一中定理）若f在[a,b]上连续，则至少存在一点],[ba，使得.abfdxxfab（7）证由于f在[a,b]上连续，因此存在最大值M和最小值m.由],[,baxMxfm,使用积分不等式性质得到,abMdxxfababm或.1Mdxxfababm再由连续函数的介值性，至少存在一点],,[ba使得,)(1)(dxxfabfba这就证得（7）式成立。积分第一中值定理的几何意义：如图9–11所示，若f在于以[a,b]上非负连续，则y=f()在[a,b]上的曲边梯形面积等（'7）所示的f为高，[a,b]为底的矩形面积。而dxxfabab1则可理解为xf在区间[a,b]上所有函数值的平均值。这是通常有限个数的算术平均值的推广。注把定理中f在[a,b]上连续，减弱为f在[a,b]上可积.定理结论为：若f在[a,b]上可积，[,]inf(),xabmfx[,]sup(),xabMfx则存在(),mM使()()bafxdxba.事实上，由()mfxM，[,]xab，有,abMdxxfababm从而有,bfxdxamMba令bfxdxaba，则,mM且()()bafxdxba.性质7中的f()与这里的都可看作函数xf在区间[a,b]上所有函数值的平均值。例3试求sinxfx在[0，]上的平均值。解所求平均值为0.20cos1sin1)(xxdxf□定理9.8（推广的积分第一中值定理）若f与g都在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得babadxxgfdxxgxf.)()()()(（8）（当g(x)=1时，即为定理9.7）证不妨设g(x)≥0，x∈[a,b]，这时有,,),()()()(baxxMgxgxfxmg其中M、m分别为f在[a,b]上的最大、最小值。由定积分的不等式性质，得到bababadxxgMdxxgxfdxxgm.)()()()(若badxxg,0)(则由上式知badxxgxf,0)()(从而对任何ξ∈[a,b]，（8）式都成立。若()0,bagxdx则得.)()()(Mdxxgdxxgxfmbaba由连续函数的介值性，必至少有一点ξ∈[a,b]，使得.)()()()(babadxxgdxxgxff这就证得（8）式成立。注1类似于定理9.7的注，本定理的结论亦可推广.其结论见220P第9题.注2事实上，定理9.7和定理9.8中的中值点ξ必能在开区间(a,b)内取得(证明留作习题219P第8题),但这并不排除中值点同时能在端点a或b取得，因为中值点可以是不唯一的.积分第二中值定理将在下一节里给出.课后作业题：3.2)4)4.5.6.