矩阵分解及应用

引言数学是人类历史中发展最早，也是发展最为庞大的基础学科。许多人说数学是万理之源，因为许多学科的研究都是以数学做为基础，有了数学的夯实基础，人类才铸就起了众多学科的高楼大厦，所以数学的研究和发展一直在不断的发展壮大。在数学中有一支耀眼的分支，那就是矩阵。在古今矩阵的研究发展长河中产生了许多闪耀星河的大家。英国数学大家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特，一个数学狂人，正是他的孜孜不倦的研究使得矩阵理论正式被确立并开启了矩阵发展的快速发展通道。凯莱和西尔维斯特是非常要好的朋友，他也是一位非常伟大的数学大师，正是他们伟大的友谊，加上两人的齐心协力最后他们共同发展了行列式和矩阵的理论。后来高斯在矩阵方面的研究取得重要的成就，尤其是高斯消去法的确立，加速了矩阵理论的完善和发展。而在我国，矩阵的概念古已有之。从最早的数学大家刘徽开始我们古代数学大家都已或多或少的研究了矩阵。尤其在数学大家刘徽写的《九章算术》中，它最早提出了矩阵的类似定义。而且是将矩阵的类似定义用在了解决遍乘直除问题里了。这已经开始孕育出了最早的矩阵形式。随着时间转移，矩阵的理论不断的完善，在对于那些大型矩阵的计算中如果用基本方法显得过于繁重，于是发展出了矩阵的分解，随着对矩阵分解的不断研究完善，矩阵分解方法和理论也日趋成熟矩阵经常被当做是数学工具，因为在数学问题中要经常用上矩阵的知识。矩阵是一个表格，要掌握其运算法则，作为表格的运算与数的运算既有联系又有差别，在所有矩阵的运算方法中，矩阵的分解是他们中一种最重要并且也是应用最广泛。矩阵分解主要是对高斯消去法的延续和拓展。在一些大型的矩阵计算中，其计算量大，化简繁杂，使得计算非常复杂。如果运用矩阵的分解，将那些大型矩阵分解成简单的矩阵的乘积形式，则可大大降低计算的难度以及计算量。这就是矩阵分解的主要目的。而且对于矩阵的秩的问题，特征值的问题，行列式的问题等等，通过矩阵的分解后都可以清楚明晰的反应出来。就连矩阵的奇异性也显而易见。在另一方面,对于哪些大型的数值计算问题，矩阵的分解方式以及分解过程也可以作为其计算的理论依据。2第一章矩阵的基本知识储备矩阵的知识体系涉及的知识多而且琐碎，所以先对其整体知识性构建基本的知识体系。即首先对矩阵的基本知识进行储备。所以本文将首先进行基本知识的总结和概述。1.1矩阵的基本知识定义：由nm个数ija（1,2...;1,2...imjn）排成的m行n列的数表：mnmmnnaaaaaaaaaA.....................112222111211上面式子也可写为：).()(ijnmijnmaaAA这个所述的nm个数也称之为矩阵A的元素，即简称它是元。实矩阵：指的是元素全是实数的矩阵。同理知道复矩阵即为元素是复数的矩阵。下面所述几种比较特殊的矩阵：（1）方阵指的是行数和列数相等的矩阵。简记nnA。（2）行向量：),...,,(111nnaaaA。（3）列向量：naaaB...21。（4）对角矩阵（对角阵）。把它记做是：),...,,(21ndiagA。=A12n（5）元素全是0的矩阵叫做零矩阵。（6）对于主对线的左下方，如果其元素都是0，则称它是上三角矩阵，否则称作是下三角矩阵。例如：nnnnaaaaaaA...00...............0...222112113（8）对角矩阵中元素都为1的对角阵叫做是对角方阵。1.2：可逆矩阵（非奇异方阵）的定义可逆矩阵的定义和线性代数是紧密联系在一起的，即给定一个方阵A，它是n阶方阵，如果存在和A同为n阶的方阵B，使得EBAAB（或EBAEAB,中总有一个成立），E指的是阶数为n的单位矩阵，那么A就是可逆矩阵，B则叫做A的逆矩阵，即BA1。方阵A的逆矩阵如果是存在的话，把矩阵A称作是非奇异方阵或者是可逆方阵也可以是满秩矩阵。如果0A,那么矩阵A通常被称作是奇异矩阵（降秩矩阵）。对于矩阵A，如果他不是满秩的矩阵，也就是它的行列式的值是不等于零的，即满足条件：︱A︱≠0。那么A则必定是可逆的。上面叙述的性质也是我们在学习中经常用于判断矩阵可逆的充分必要的条件。而对于下面叙述的条件是与上述判断矩阵可逆的条件是等价的：（1）矩阵A是可逆的的矩阵。（2）A的行列式不为零。(3)A的秩等于n（即矩阵A是满秩矩阵）。(4）A等价于单位矩阵E(5）A仅仅用初等行变换就可以化成单位矩阵E1.3：共轭转置的定义ijjiAA,,*)(。其中ji,)(表示矩阵i行j列上的元素，)(表示标量的复共轭。这一定义也可以写作：TTAAA)(*，其中TA是矩阵A的转置，A表示对矩阵A中的元素取复共轭（）。通常情况下我们用记号*A或HA来表示矩阵A的共轭转置。对于，在某种情况下极易混淆，就是在特定情况下表示只对矩阵元素取复共轭，而对矩阵做转置，概念不能混淆。比如，对于矩阵A假如等于如下：iiiA2253那么由上面所述的性质定理可以得到矩阵A的共轭转置：iiiA5223*假如矩阵A的元素都是实数，即矩阵A是实矩阵，那么共轭转置矩阵*A与矩阵A的转置矩阵TA是相等的。复数的推广中经常用到的是复值方块矩阵，而共轭转置是对共轭复数的推广应用。共轭矩阵的基本性质：(1）如果矩阵A和矩阵B的维数相等，则：***)(BABA。4(2）***)(ArrA，并且其中r是复数，r为r的复共轭。(3）对于m行n列的矩阵A以及n行p列矩阵的矩阵B，有***)(ABAB。(4）AA**)((5）假如A是方阵，那么有**)(det)det(AA，并且有**)()(trAAtr,如果矩阵A可逆，则仅当在矩阵A的共轭转置*A是可逆矩阵，且满足，*11*)()(AA.对于共轭矩阵*A它的特征值相较于矩阵A的特征值，它是矩阵A特征值的复共轭。1.4：酉矩阵的定义：n阶复方阵U，当矩阵U的n个列向量同时也是矩阵U空间的标准正交基的时候，我们把矩阵U叫做是酉矩阵。酉矩阵的判断方法：对于那些方阵本身即U矩阵乘以方阵的共扼转置即U的共轭转置最后的结果是单位阵，那么就可以判定矩阵U肯定是酉矩阵。换一种表达就是对于酉矩阵有：其逆矩阵和伴随矩阵相等。并且对于酉等价指的是从标准的正交基变换到标准正交基的一种特殊的基变换的方式。也可以用如下定义来描述酉矩阵：即如果一个复矩阵U它是n行n列的，并且同时满足条件：nIUUUU**。而对于nI，它是一个n阶的单位矩阵，对于矩阵*U，它是U的共轭转置矩阵，这也就是矩阵U的酉矩阵，如果对于矩阵U，其他的共轭转置*U是原来矩阵U的逆矩阵时，即时*1UU.在酉矩阵中有一种特殊情况：即对于酉矩阵，如果它的所有元素都是实数的话，可以判定它为正交矩阵。且其和正交矩阵G有着差不多的性质：即他们不管怎么变化都不会改变实向量内积，即：),(),(yxGGyx。同时，酉矩阵U也是不会改变两个复向量的内积的：),(),(yxUUyx，下列条件和U是n阶方阵是等价的：（1）对于U是酉矩阵的话，那么*U也一定是酉矩阵。（2）对于U矩阵，他的列向量同时也构成了nG上的一组正交基在它所对应的内积空间下。同时也可以推断出它的行向量也构成一组正交基在内积空间nG下。酉矩阵U的性质：5（1）U是可逆矩阵；（2）*1UU矩阵U的逆矩阵等于矩阵U的转置矩阵，同时有*U是酉矩阵；（3）1)det(U;（4）22xUx；6第二章矩阵的三角分解矩阵的三角分解是所有矩阵分解知识中第一个被提出来并被完善的。矩阵的三角分解在矩阵的分解中有着基础的作用。最早的时候是高斯在研究矩阵消去的时候发现了三角法，后面在弗罗博扭波斯的大力研究发展下，矩阵的三角分解取得了极大的突破。本章节主要对矩阵的三角分解进行详细的探讨。值得一提的是在19世纪，西方数学进入中国后，许多中国的有识之士结合中国数学发展和西方数学知识，为整个数学知识的推动起了很大的作用。2.1：对于高斯消去法的方法和它的计算思路的初步探讨例1，解方程组：,0115472321321321XXXXXXXXX解：首先我们先写出该方程组的矩阵形式：bAX，并且有：.0117,111154112bA第一步，那就是消元的过程：对增广矩阵进行消元：5100333071125.35.05.10333071120111111547112bA即得方程组：.533372332321XXXXXX第二步，回代过程：.12)547(2)7(43)533(3)33(5)1()5(321323XXXXXX上面所用的方法是高斯消去法中最基本的一种方法。2.2：高斯消去法的基本计算过程和它的计算公式设线性方程组：mnmnmmnnnnbXaXaXabXaXaXabXaXaXa................22112222212111212111方程组可以写成下面的矩阵形式：7............................2121212222111211nnmnmmnnbbbXXXaaaaaaaaa同时也把上面式子简记为,bAx初始的方程组写作：bAX写作.)1()1(bXA（1）对式子的第一次消元（k=1),先消去2到n这（n-1）个方程组中的1x，如果设,0)1(11a要做到：).:(...0..................0........................):()2()2()2()2()2(2)2(2)2(2)2(22)2(1)2(1)2(12)2(11)1()1(2)1(12)1(2)1(22)1(211)1(1)1(12)1(11bAbaabaabaaabaaabaaabaaabAmmnmnnnmnmmnn第i个方程-（减去）第1个方程,,)1(11)1(11)1(11)1(1aamaaiii这时,,...,3,2,0)2(1miai而且右端和它的系数有：),...2(,),...,2;,...,2(,)1(11)1()2()1(11)1()2(mibmbbnjmiamaaiiijiijij（2）第k次消元（,2,1k..,),1min(nms)假设已完成,即上述消元从第一步到第k步计算都以完成。与其相等价的方程组我们已经算好：...........................................)()(1)()1(1)()(1)()1(1)()(1,)()(,1)(1,1)(,1)()(1,)()1(1)1(1,1)1(1)1(12)1(11kmkkkkknkkkkkmnkkmkmkknkkkkkkkkknkkkkkknkkbbbbXXXXaaaaaaaaaaaaaa简记上式为：,)()(kkbxA如果设,0)(kkka第i个方程-（减去）第k个方程则得到：.,,...,,0,,)1()1()()()()()(kkkikkkkkikikkkkkikbxAmkiaaamaa对于)1(kA和)1(kb，下面的公式是对他们的元素的：._,...,1(,),...,1;,...,1(,)()()1()()()1(mkibmbbnkjmkiamaakkikkikikkjikkijkij8