椭圆常结论及其结论(完全版)

2椭圆常用结论一、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于12222byax，左准线caxl21:；右准线caxl22:对于12222bxay，下准线cayl21:；上准线cayl22:椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称焦点到准线的距离cbccaccap2222（焦参数）二、焦半径圆锥曲线上任意一点M与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。椭圆的焦半径公式：焦点在x轴（左焦半径）01exar,（右焦半径）02exar,其中e是离心率焦点在y轴1020,MFaeyMFaey其中21,FF分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为：左加右减，上减下加caPFcaPF21,推导：以焦点在x轴为例如上图，设椭圆上一点00,yxP，在y轴左边.根据椭圆第二定义，ePMPF1，则02020201exacaxaccaxeccxePMePF奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆xOF1F2PyA2A1B1B2同理可得02exaPF三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x轴为例，弦AB坐标：abcA2,，abcB2,弦AB长度：abAB22四、若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为.推导：如图sin212121PFPFSFPF根据余弦定理，得cos=21221222PFPFFFPFPF=2122121242)PFPFcPFPFPFPF=2122122424PFPFcPFPFa=21212224PFPFPFPFb得cos12221bPFPFsin212121PFPFSFPF=sincos12212b=cos1sin2b=2tan2b12222byax21,FF21PFF21FPF2tan2bxOF1F2PyA2A1B1B2五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)AxyBxy,则它的弦长2221212121211(1)()41ABxxxxxxyy2kkk注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()yyxxk，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AByy.六、圆锥曲线的中点弦问题：(1)椭圆中点弦的斜率公式：设00(,)Mxy为椭圆22221xyab弦AB（AB不平行y轴）的中点，则有：22ABOMbkka证明：设11(,)Axy，22(,)Bxy，则有1212AByykxx，22112222222211xyabxyab两式相减得：22221212220xxyyab整理得：2221222212yybxxa，即2121221212()()()()yyyybxxxxa，因为00(,)Mxy是弦AB的中点，所以0012001222OMyxyykxyxx，所以22ABOMbkka(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆12222byax中，以00(,)Mxy为中点的弦所在直线的斜率k=－0202yaxb；yxMF1F2OABF′FPHy0xA由（1）得22ABOMbkka0022221yxabkabkOMAB七、椭圆的参数方程)(sincos为参数byax八、共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，0ba的离心率也是我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.例1、已知椭圆1162522yx上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____例2、如果椭圆221369xy弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是例3、已知直线1xy与椭圆22221(0)xyabab相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：02yx上，则此椭圆的离心率为_______例4、F是椭圆13422yx的右焦点，1,1A为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。（1）PFPA的最小值为（2）PFPA2的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径FP或准线作出来考虑问题。解：（1）设另一焦点为F，则F(-1,0)连AF,PF542)(22FAaPAFPaFPaPAPFPA奎屯王新敞新疆)0(12222babyax)(22bacacettbyax(2222ace当P是FA的延长线与椭圆的交点时,PFPA取得最小值为4-5。（2）作出右准线l，作lPH交于H，因42a，32b，12c，所以2a，1c，21e.∴PHPFPHPF2,21即∴PHPAPFPA2当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为3142Axca例5、求椭圆1322yx上的点到直线06yx的距离的最小值．例6、椭圆顶点A（a，0），B（0，b），若右焦点F到直线AB的距离等于，则椭圆的离心率e=（）A．B．C．D．例7、在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．