高中数学典型例题解析：第二章-函数概念与基本初等函数

第二章函数概念与基本初等函数§2.1映射、函数、反函数一、知识导学1.映射：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B.(包括集合A、B及A到B的对应法则)2.函数：设A，B都是非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素和它对应，且B中每一个元素都的原象，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数，记作()yfx.其中所有的输入值x组成的集合A称为函数()yfx定义域.对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.3.反函数：一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出来，得到x=f-1(y).若对于y在C中的任何一个值，通过x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=f-1(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y).我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x)反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.二、疑难知识导析1.对映射概念的认识(1)与是不同的，即与上有序的.或者说：映射是有方向的，(2)输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.(3)集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.2.对函数概念的认识（1）对函数符号()fx的理解知道y=()fx与()fx的含义是一样的，它们都表示是的函数，其中是自变量，()fx是函数值，连接的纽带是法则.是单值对应.(2)注意定义中的集合A，B都是非空的数集,而不能是其他集合；（3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.3.对反函数概念的认识（1）函数y=()fx只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.（3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于y=x对称.三、经典例题导讲[例1]设M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求（1）从M到N的映射种数；（2）从M到N的映射满足f(a)f(b)≥f(c),试确定这样的映射f的种数.错解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有2200220,2,2,2,0,2222220aaaaaabbbbbbcccccc，共6个映射(2)由（1）得满足条件的映射仅有202abc一种情况错因：没有找全满足条件的映射个数，关健是对概念认识不清正解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有一共有27个映射（2）符合条件的映射共有4个0222,2,2,0,0,2220aaaabbbbcccc[例2]已知函数()fx的定义域为[0，1]，求函数(1)fx的定义域错解：由于函数()fx的定义域为[0，1]，即01x，112x∴(1)fx的定义域是[1，2]错因：对函数定义域理解不透，不明白()fx与(())fux定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：()fx中x取值的范围与(())fux中式子()ux的取值范围一致就好了.正解：由于函数()fx的定义域为[0，1]，即01x∴(1)fx满足011x10x，∴(1)fx的定义域是[－1，0][例3]已知：*,xN5(6)()(2)(6)xxfxfxx，求(3)f.错解：∵5(6)()(2)(6)xxfxfxx，∴(2)(2)53fxxx故5(6)()3(6)xxfxxx，∴(3)f＝3－3＝0.错因：没有理解分段函数的意义，(3)f的自变量是3，应代入(2)fx中去，而不是代入x－5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.正解：∵5(6)()(2)(6)xxfxfxx，∴(3)f＝(32)(5)ff＝(52)(7)ff＝7-5＝2[例4]已知()fx的反函数是1()fx，如果()fx与1()fx的图像有交点，那么交点必在直线yx上，判断此命题是否正确？错解：正确错因：对互为反函数的图像关于直线yx对称这一性质理解不深，比如函数1161()log16xyyx与的图像的交点中，点1111(,),2442（，）不在直线yx上，由此可以说明“两互为反函数图像的交点必在直线yx上”是不正确的.[例5]求函数2()46yfxxx，[1,5)x的值域.错解：22(1)14163,(5)545611ff又[1,5)x，()fx的值域是311，错因:对函数定义中，输入定义域中每一个x值都有唯一的y值与之对应，错误地理解为x的两端点时函数值就是y的取值范围了.正解：配方，得22()46(2)2yfxxxx∵[1,5)x，对称轴是2x∴当2x时，函数取最小值为(2)f2，()(5)11fxf()fx的值域是211，[例6]已知()34fxx，求函数1(1)fx的解析式.错解：由已知得(1)3(1)437fxxx37,yx即73yx，∴1(1)fx73x错因：将函数1(1)fx错误地认为是(1)fx的反函数，是由于对函数表达式理解不透彻所致，实际上(1)fx与1(1)fx并不是互为反函数，一般地应该由()fx先求1()fx，再去得到1(1)fx.正解：因为()34fxx的反函数为1()fx＝43x，所以1(1)fx＝(1)4333xx＝113x[例7]根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知()fx是二次函数，若(0)0,(1)()1ffxfxx，求()fx.（2）已知(1)2fxxx，求()fx（3）若()fx满足1()2(),fxfaxx求()fx解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解设()fx＝2(0)axbxca由于(0)0f得2()fxaxbx，又由(1)()1fxfxx，∴22(1)(1)1axbxaxbxx即22(2)(1)1axabxabaxbx211021abbaabab因此：()fx＝21122xx(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解设22()(1)2(1)1(1)fuuuuu∴()fx＝21x（1x）（3）由于()fx为抽象函数，可以用消参法求解用1x代x可得：11()2(),ffxaxx与1()2()fxfaxx1(0),1(1)uxxxuu联列可消去1()fx得：()fx＝233aaxx.点评：求函数解析式（1）若已知函数()fx的类型，常采用待定系数法；（2）若已知[()]fgx表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.[例8]已知xyx62322，试求22yx的最大值.分析：要求22yx的最大值，由已知条件很快将22yx变为一元二次函数,29)3(21)(2xxf然后求极值点的x值，联系到02y，这一条件，既快又准地求出最大值.解由xyx62322得.20,0323,0.3232222xxxyxxy又,29)3(2132322222xxxxyx当2x时，22yx有最大值，最大值为.429)32(212点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：由xyx62322得,32322xxy,29)3(2132322222xxxxyx当3x时，22yx取最大值，最大值为29这种解法由于忽略了02y这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题..[例9]设()fx是R上的函数，且满足(0)1,f并且对任意的实数,xy都有()()(21)fxyfxyxy，求()fx的表达式.解法一：由(0)1,f()()(21)fxyfxyxy，设xy，得(0)()(21)ffxxxx，所以()fx＝21xx解法二：令0x，得(0)(0)(1)fyfyy即()1(1)fyyy又将y用x代换到上式中得()fx＝21xx点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定.四、典型习题导练1.已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是（）A.0B.1C.0或1D.1或22.对函数baxxxf23)(作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是()A.ttg21log)(B.ttg)21()(C.g(t)=(t－1)2D.g(t)=cost3.方程f(x,y)=0的曲线如图所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲线是()4.函数f(x)＝i＝119|x－n|的最小值为A．190B.171C.90D.455.若函数f(x)=34xmx(x≠43)在定义域内恒有f［f(x)］=x,则m等于()A.3B.23C.－23D.－36.已知函数()fx满足：()()()fabfafb，(1)2f，则2222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8)(1)(3)(5)(7)ffffffffffff.ABCD7.已知函数f(x)满足f(logax)=)1(12xxaa(其中a0,a≠1,x0),求f(x)的表达式.8.已知函数()fx是函数21101xy（xR）的反函数，函数()gx的图像与函数431xyx的图像关于直线y＝x－1成轴对称图形，记()Fx＝()fx+()gx.（1）求函数F（x）的解析式及定义域；（2）试问在函数F（x）的图像上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B两点的坐标；若不存在，说明理由.§2.2函数的性质一、知识导学1.函数的单调性：（1）增函数：一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时，都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.（2）减函数：一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＞f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.（3）单调性（单调区间）如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.2.函数的奇偶性：（1）奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.（2）