一元函数微分学测验答案

一元函数微分学自测题一、填空题（每题3分,共15分）1、201sinlim|sin|xxxx极限=0.2、设)()2)(1()(nxxxxxf，则0xdf_____.nx答　　!d3、0(),()0,lim(sin)(sin)xxfxxafabfaxfax设在处可导且则＿＿＿＿　．0001limlim(sin)()(sin)()(sin)(sin)11lim(sin)()sin(sin)()sin2sinsinxxxxfaxfataxfafaxfaxxxfaxfaxfaxfaxbxxxx答　　12b4、设)()(lnxfexfy，其中f可微，则dy=)](')(ln)(ln'[2)(xfxfxxfexxf)(xd。5、设)2323(xxfy，且2arctan)('xxf，则0xdxdy34二、单选题：（每题4分,共20分）1、若当0x时，)(xf是3x高阶无穷小，则xexfxx220sin)1()(lim(A)０(B)１(C)(D)21答（A）2、若0),1(0,)(2xxbxexfax在),(内处处可导，则（A）1,1ba；（B）1,2ba；（C）0,1ba；（D）1,0ba答（D）3、设)(xf在0xx的邻域内可导，且21)('lim00xxxfxx，则（A）)(0xf是)(xf的极小值；（B）)(0xf是)(xf的极大值；（C）)(xf在)(0xU内单调增加；（D）)(xf在)(0xU内单调减少。答：（B）4、0x时，1sinxx是（A）比x高阶的无穷小量（B）比x低阶的无穷小量（C）与x同阶的无穷小量（D）无穷小量，但是其阶不能确定答：（D）5、000()()limxxfxfxxx存在的充要条件是（A）0()0fx（B）()fx在0x点连续（C）0()0fx（D）()fx在0x点可导答：（C）三、求极限（每题8分，共16分）1、)21ln(tanlim2sin0xxeexxx解、)21ln(tanlim2sin0xxeexxx=3sinsin02)1(limxeexxxx=302sinlimxxxx=206cos1limxxx=121２、2)(seclimnnn2222212lim(sec)lim(sec)lim()lim()=ennnnnnnnnnnnnn２２１２２１２２１tan２tan２解：　＝　　　　　　　＝１＋tan＝１＋tan四、求解下列各题（每题7分，共28分）1、设由方程组0112ytetxy确定了y是x的函数,求022tdxyd。1．2dtdx，对于01ytey，两边对t求导，0dtdydtdyteeyyyyteedtdy1当0t时，1y10edtdytdxdy)1(2yytee22dxyd])1(2[yyteedxddtdxteedtdyy/)1(212)1()(41yyyyytedtdyteeedtdye把0t，1y及10edtdyt代入：202221edxydt2、求曲线12xxxy的凹凸区间和拐点．2．222)1(11'xxy322)1()3(2xxxy…………2分令0y得0x以及y不存在的点1x…………3分列表讨论如下:x)1,(1)0,1(0)1,0(1),1(y不存在0不存在y无定义0无定义曲线的凸区间为：)1,0()1,((或]1,0()1,()曲线的凹区间为：),1()0,1(（或),1(]0,1(）曲线的拐点为：)0,0(220()()(),(0)21(),(2),(4)1,.2xyyxyfxyfxyydyfxffdx3.设函数由方程所确定且其中是可导函数求的值解：22()(22)()(1)yfxyxyyfxyy220,2,4,2xyxyxy当时71)0()0(1)2()0(4)4()0(yyfyfy4、设函数)(xyy由方程1222223xxyyy所确定,求函数的极值点,并求极值。解．设方程确定的函数)(xyy可导，那么极值点一定在驻点获得两边对x求导得：0''2'32xxyyyyyy令0'yxy，代入原方程得01223xx0)1)(12(2xxx1yx由0''2'32xxyyyyyy两边对x求导01''2)'(23)'(6222xyyyyyyyyyy把1x，1y，0)1('y代入上式得1)1(2y021)1(y所以1x为极小值点，极小值为1)1(y五、证明题（16分）(1、2、两题可任选一题做)1、arctanln(1),(0,)1xxxx证明：222arctanln(1)1ln(1)-arctan011ln(1)-arctan1ln(1)+1-ln(1)+0(0),1+1+0[0,),1ln(1)-arcxxxxxxFxxxxFxxxxxxFxxFFxx证明：利用函数单调性要证，即要证（）设（x）=（）则（）=又（）在点连续所以（x）在单调增，F（0）＝0所以x0时，（x）F(0)=0即（）tan0arctanln(1)1xxxx即（x0）3、设1)(lim0xxfx，且0)(xf，证明：0x时,xxf)(（7分）证明：设xxfxF)()(，由)0('f存在得()fx在x=0处连续，00()(0)lim()lim0xxfxffxxx，（由1)(lim0xxfx）从而得0()(0)'(0)lim10xfxffx从而0)0(F，0)0('F1)(')('xfxF，0)()(xfxF得，)('xF在),0[为单调增加函数，)0(')('FxF0所以)(xF在),0[为单调增加函数，)0()(FxF0即：xxf)(（或者由中值定理0x时，'()'()1'()(0)()0Fxfxfxffx）()[,],()(,)()1,(,)().fxabafxbabfxabxfxx4.设函数在上可导且在上有证明在内有仅有一个值适合证明：证法1内连续在上可导在则存在性：设],[,),()(,)()(baxFxxfxF又0)()(axfaF，0)()(bbfbF由零点定理知，在),(ba内至少存在一点，使得0)(F)(f即在),(ba内至少存在一点x，xxf)(0)()()(,)(.212121xFxFxxxxxxf即有两个不等的实根设方程唯一性：反证则在上满足罗尔定理条件即存在使　　即FxxxxxFf()[,],(,)()()121201这与矛盾fxx(),(,)1因此方程不可能有两个不等的实根即最多有一个实根fxx(),.22112121)()()(.2xxfxxfxxxx，即根倘若方程有两个不等实：存在性证法由拉格朗日中值定理知必存在适合,(.)()()()xxffxfxxxxxxx12212121211这与矛盾fx()1故方程至多有一个实根fxx().