数学建模第四套

1徐州工程学院个性化教育数学建模（大作业）试卷班级学号姓名得分1、某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0~5岁；第二组，6~10岁；第三组，11~15岁。动物从第二年龄组开始繁衍后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3，第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1/2和1/4。假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？解：由于年龄分为五岁一段，所以时间周期取5年。设(k)ix表示第k个时间周期，第i组年龄阶段动物的数量。因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组的动物数量是由上一周期上一年龄组存活下来的动物的数量决定的，所以有(k)(k1)(k)(k1)213211,22xxxx又因为某一时间周期，第一年龄组的动物数量是由上一时间周期各个年龄组出生的动物数量决定的，所以有(k)(k1)(k1)12343xxx由此得到递推关系式：(k)(k1)(k1)123(k)(k1)21(k)(k1)32431214xxxxxxx用矩阵表示为：(k)(k1)11(k)(k1)22(k)(k1)3304310021004xxxxxx即(k)(k1)xLx，其中(n)043100100,10021001004Lx2则有(3)(2)(1)(0)1437.5137.587.5xLxLLxLLLx计算过程代码如下：x0=[100;100;100];L=[0,4,3;1/2,0,0;0,1/4,0];x1=L*x0;x2=L*x1;x3=L*x2x3=1.0e+03*1.43750.13750.0875结果分析：由于动物的数量不可能出现小数，所以根据实际，15年后农场饲养动物的数量如下表年龄段（岁）0~56~1011~15数量（个）143713787表115年后农场动物数量分布表2、深洞的估算：假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是1KG的石头，并准确的测定出听到回声的时间T=5S，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。（1）不计空气阻力；（2）受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度成正比，比例系数k1=0.05；（3）受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比，比例系数k2=0.0025。解：（1）根据题意建立动力学模型根据动力学公式21212hgthvt其中h为洞深，g为万有引力常量，1t为下落时间，2t为声音传播时间，v为声速。根据题意得125Ttt3所以得到模型2121212hgthvtTtt求解得124.6840.316107.51tth所以在（1）的条件下，求出的洞深为107.51m（2）根据动力学公式得到11mamgkv其中1v为下落的速度。对上式进行定积分运算，根据题意初始下落速度00v，所以得到速度与时间的关系式如下：1111kmtmgvek进而得到位移与时间的函数关系式，关系式为：1122111ktmmgmmghtekkk将上式与方程2hvt联立，得到模型如下：11221112125ktmmgmmghtekkkhvttt代入数据后求解得100.43hm（3）根据动力学公式得221mamgkv令'22kkm，'2gAk，'22Bgk，则可以得到速度与时间的函数关系式，关系式如下：11131BtBtevAe进而得到位移与时间的函数关系式，关系式为：11121ln2BtBtAehAtBe4将上式与方程2hvt联立，得到模型如下：11121221ln25BtBtAehAtBehvttt通过Matlab软件计算，求出h的值：solve('x=63*(5-x/340)+2*63/0.316*(log(2.7^(0.316*5-0.316*x/340)+1)-log(2*2.7^(0.316*5-0.316*x/340)))')ans=101.86825754949506384343423952243所以洞深101.9hm3、某地区有三个重要产业，一个是煤矿、一个是发电厂和一条地方铁路。开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费。生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费、0.05元的电费及0.05元的运输费。创收一元钱的运输费，铁路需要支付0.55元的煤费及0.10元的电费。在某个周期内，煤矿接到外地金额为50000元的订货，发电厂接到外地定额25000元的订货，外界对地方铁路没有需求。问三个企业在这一周期内总产值多少才能满足自身及外界的需求？解：根据题意得下表支出生产1元煤矿发电厂铁路煤矿（元）00.650.55发电厂（元）0.250.050.1铁路（元）0.250.050表2某地区产业收入支出表设1x为煤矿本周内的总产值，2x为电厂本周的总产值，3x为铁路本周内的总产值，则112321233123(00.650.55)50000(0.250.050.10)25000(0.250.050)0xxxxxxxxxxxx即11223300.650.55500000.250.050.10250000.250.0500xxxxxx所以得到100.650.55500002,0.250.050.10,2500030.250.0500xXxAYx5矩阵A称为直接消耗矩阵，X称为产出向量，Y称为需求向量，则：()EAXY设112300(),00,D11100xBEAECAxCx其中矩阵C的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的投入产出关系，矩阵D的元素分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入。由矩阵C，Y，X和D，可得投入产出分析表3煤矿发电厂铁路外界需求总产出煤矿11c12c13c1y1x发电厂21c22c23c2y2x铁路31c32c33c3y3x总投入1d2d3d表3投入产出分析表按()EAXY解方程组可得产出矩阵X，进而可计算矩阵C和D。其结果见下表4：煤矿发电厂铁路外界需求总产出煤矿036505.9615581.5150000102087.48发电厂25521.872808.152833.002500056163.02铁路25521.872808.150028330.02总投入51043.7442122.2718414.526