第二章习题

第二章信号及其描述方法习题2-1确定信号可分为周期信号和非周期信号两类，前者频谱的特点是离散性、谐波性、收敛性，后者的频谱具有特点是连续。2-2信号的有效值又称均方根值；它放映信号的功率大小；有效值的平方称均方值，它是信号的平均功率。2-3已知三角波傅里叶级数展开式为()⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅⋅⋅++−=tttAtωωωπ5sin513sin31sin8g2220，则其频率成分为()ω1n2+，n=0,1,2…；各频率振幅为()22012A8π+n；幅值频谱图为：2-4周期信号x(t)的傅里叶级数三角展开式为()()()∑∑∞=∞=++=++=1001000sinsincosnnnnnntnAatnbtnaatxϕωωω式中，()∫−=2/2/001TTdttxTa表示常值分量，()∫−=2/2/00cos2TTntdtntxTaω表示余弦分量幅值，()∫−=2/2/00sin2TTntdttxTbω表示正弦分量幅值。2-5工程中常见的周期信号，其谐波幅度总的趋势是随着频率的升高而减小的，因此，在频谱分析中，没有必要考虑哪些频率很高的谐波分量2-6在周期方波信号的傅里叶级数式()⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅⋅⋅++−=tttAtωωωπ5cos513cos31cos2x2nA20A8π2098πA20258πA20498πA0ω03ω05ω07ω和周期三角波信号的傅里叶级数式()⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅⋅⋅++−+=tttAAt0202025cos513cos31cos42xωωωπ中，信号的直流分量分别是0，A/2，方波信号的幅值收敛速度比三角波信号慢，叠加复原达到同样的精度要求时，方波信号比三角波信号需要更多的频率分量，因此对测试装置要求更宽的带宽。2-7描述周期信号的强度用均方值最适宜，在信号分析中称之为平均功率，在周期信号之中存在一个时域和频域间的功率等式为()22/T2/2T1∫∑−∞−∞==Tkncdttx。2-8白噪声是指功率谱宽度在整个频域内均匀分布的噪声。2-9对于非周期信号，当时间尺度在压缩时，则其频谱频带在扩展，幅度变小，例如将记录磁带快放，即是例证。2-10单位脉冲函数()0tt−δ与在t0点连续的模拟信号f(t)有积分式()()=−∫∞∞−dttftt0δ)(0tf，这个性质称为采样特性。2-11已知()tetx−=，则()()=−∫∞∞−dtttx1δ1/e。2-12根据频率保持性可以推得：输出信号含有什么频率成分，输入信号中也一定含有这种频率成分。（P87老教材）2-13周期信号和瞬态信号都可以有无限多个正弦波的叠加来等效，但周期信号的各频率取为基频的整数倍值，可用傅里叶级数来求取，其幅值频谱表征为各微小频宽内频率分量的幅值和频率之比，因而严格地说，瞬态信号的幅值频谱应称为频谱密度。2-14在随机信号的统计参数中均方值表示平均功率；均值表示常值分量；标准误差表示交流波动。2-16求正弦信号()⎟⎠⎞⎜⎝⎛=tTAtxπ2sin的单边、双边频谱、实频谱图、虚频谱图，如果信号延时T/4后，其各频谱又如何变化？解：()TtjTtjejejtTAtx/2/22A2A2sinπππ−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−则在Tπ2−处：2CAjn=，0CR=n，2CIAn=，2AC=n，2nπϕ=；在Tπ2处：2CAjn−=，0CR=n，2CIAn−=，2AC=n，2nπϕ−=；延时T/4后：()()TjTjeAeAtTAtTATtTAtx/2/2222cos22sin4/2sinsinππππππ−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−在Tπ2−处：2CAn−=，2CRAn−=，0CI=n，2AC=n，πϕ±=n；在Tπ2处：2CAn−=，2CRAn−=，0CI=n，2AC=n，πϕ∓=n；相位πϕ+=n和πϕ−=n在理论上是一种情况，不过一般而言，双边相频谱是奇对称的。图略2-17已知方波的傅里叶级数展开式为()⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅⋅⋅−+−=tttAt00005cos513cos31cos4xωωωπ求该方波的均值、频率成分、各频率的幅值，并画出其频谱图。解：()0]5cos21513cos312131cos21[4]5cos1lim513cos1lim31cos1lim[41lim200200200000000000=⋅⋅⋅−+−=⋅⋅⋅−+−==∫∫∫∫∫∫∫∞→∞→∞→∞→πππωπωπωππωωωπµtdttdttdtAtdtTtdtTtdtTAdttxTTTTTTTTTx频率成分：0ω、03ω、05ω……各频率幅值：π04A、π340A、π540A……频谱图见教材20页