2020年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

第1页共3页2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．1.当0x时，下列无穷小量中最高阶的是（）A.20(1)xtedtB.30ln(1)xtdtC.sin20sinxtdtD.1cos30sinxtdt2.函数11ln(1)()(1)(2)xxexfxex的第二类间断点的个数为（）A.1B.2C.3D.43.10arcsin()(1)xdxxxA.24B.28C.4D.84.已知2()ln(1),fxxx当3n时，(0)()nfA.!2nnB.!2nnC.2!nnD.2!nn5.关于,0,(,),0,,0,xyxyfxyxyyx给出下列结论：（1）(0,0)1fx（2）2(0,0)1fxy（3）,0,0lim(,)0xyfxy（4）00limlim(,)0yxfxy。其中正确的个数为（）A.4B.3C.2D.16.设()fx在2,2上可导，且()()0fxfx，则（）A.(2)1(1)ffB.(0)(1)fefC.2(1)(1)fefD.3(2)(1)fef7.四阶方阵A不可逆，120A，1234,,,为矩阵A的列向量组，则*0AX的通解为（）A.112233xkkkB.112234xkkkC.112334xkkkD.122334xkkk8.A为3阶方阵，12,为属于特征值1的线性无关的特征向量，3为A的属于-1的特征向量，满足1111PAP的可逆矩阵P为（）第2页共3页A.1323,,B.1223,,B.1332,,D.1232,,二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．9.设1ln122ttytx，则122ddtxy.10.求xxyyd1d1310=.11.设,sinarctanyxxyz则,0dz.12.斜边长为a2的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中,且斜边与水面相齐，记重力加速度为g，水密度为，则三角形平板的一侧收到的压力为.13.设xyy满足,02yyy且00y，10y，则xxyd0.14.求aaaa011011110110.三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．15.（本题满分10分）.求曲线011xxxyxx的斜渐近线。16.（本题满分10分）设xf连续,且,1lim0xxfx，txtfxgd10求xg且证明xg在0x处连续.17.（本题满分10分）求xyyxxf338的极值。第3页共3页18.（本题满分10分）设fx在0,上有定义，且满足2221221xxfxxfxx（1）求fx；（2）求曲线13,,22yfxyy及y围成的图形绕x轴旋转一周的体积。19.（本题满分10分）计算二重积分22dDxyx，其中区域D由1,2,xxyx及x轴围成.20.(本题满分11分)已知xttxf1de2（1）证明：21,2,2ef；（2）证明：21,2,2ln2ef。21.（本题满分11分）已知xf可导,且00xxf.曲线xfy过原点,点M为曲线xfy上任意一点,过点M的切线与x轴相交于点T,过点M做MP垂直于x轴于点P,且曲线xfy与直线MP以及x轴所围成图形的面积与三角形MTP的面积比恒为2:3,求曲线满足的方程.22.（本题满分11分）二次型222123123121323,,222fxxxxxxaxxaxxaxx经可逆线性变换xPy变换为22212312312,,42gyyyyyyyy（I）求a的值；（II）求可逆矩阵P.23.（本题满分11分）设A为2阶矩阵，(,)PαAα，α是非零向量且不是A的特征向量。（I）证明矩阵P可逆；（II）若26AαAαα0，求1PAP并判断A是否相似于对角矩阵。