人教版高中数学必修五《数列》2.5等比数列的前n项和(1)

第一课时2019年12月31日星期二§2.5等比数列的前n项和“一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来，但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元，第二天借给穷人2万元，以后每天所借的钱数都比前一天多1万元；但借钱第一天，穷人还1分钱，第二天还2分钱，以后每天所还的钱数都是前一天的两倍，30天后互不相欠。穷人听后觉得挺划算，本想定下来，但又想到此富人是吝啬出了名的，怕上当受骗，所以很为难。”你能帮助这个穷人出个主意么？2019年12月31日星期二思考1：2019年12月31日星期二1、如果穷人答应了富人的条件，请问这30天他从富人那里一共借到多少钱？𝟏+𝟐+𝟑+⋯+𝟑𝟎=𝟑𝟎×𝟏+𝟑𝟎𝟐=𝟒𝟔𝟓(万元)2、那么这30天他要还富人多少钱呢？𝟏+𝟐+𝟒+⋯+𝟐𝟐𝟗(分)这个和怎么来求呢？2019年12月31日星期二思考2我们首先将这个问题简单化：我们来观察这个穷人前十天要还富人多少钱。情境一：这个穷人前十天所还富人的钱是：𝟏+𝟐+𝟒+𝟖+𝟏𝟔+𝟑𝟐+𝟔𝟒+𝟏𝟐𝟖+𝟐𝟓𝟔+𝟓𝟏𝟐(分)；情境二：如果穷人第一天还2分钱，第二天还4分钱，以后每天所还的钱数都是前一天的两倍，那么前十天他总共要还富人：𝟐+𝟒+𝟖+𝟏𝟔+𝟑𝟐+𝟔𝟒+𝟏𝟐𝟖+𝟐𝟓𝟔+𝟓𝟏𝟐+𝟏𝟎𝟐𝟒(分)1、这两个式子中的项存在着什么样的对应关系么？2019年12月31日星期二请大家观察下表回答上问：（2）第一个式子中的第二项到第十项与第二个式子中第一项到九项对应相等。情境一𝒂𝟏𝒂𝟐𝒂𝟑𝒂𝟒…𝒂𝟏𝟎1248…512情境二𝟐𝒂𝟏=𝒂𝟐𝟐𝒂𝟐=𝒂𝟑𝟐𝒂𝟑=𝒂𝟒…𝟐𝒂𝟗=𝒂𝟏𝟎𝟐𝒂𝟏𝟎248…5121024（1）第二个式子中的每一项都是第一个式子中相应项的2倍，这就相当于把第一个式的每项都乘上它们的公比2；2019年12月31日星期二2、若记𝟏+𝟐+𝟒+𝟖+𝟏𝟔+𝟑𝟐+𝟔𝟒+𝟏𝟐𝟖+𝟐𝟓𝟔+𝟓𝟏𝟐=𝑺𝟏𝟎，那么𝟐+𝟒+𝟖+𝟏𝟔+𝟑𝟐+𝟔𝟒+𝟏𝟐𝟖+𝟐𝟓𝟔+𝟓𝟏𝟐+𝟏𝟎𝟐𝟒=𝟐𝑺𝟏𝟎，利用这两个式子大家可以求出𝑺𝟏𝟎么？由第二个式子减去第一个式子可得：𝟐𝑺𝟏𝟎=𝟐+𝟒+𝟖+𝟏𝟔+𝟑𝟐+𝟔𝟒+𝟏𝟐𝟖+𝟐𝟓𝟔+𝟓𝟏𝟐+𝟏𝟎𝟐𝟒𝑺𝟏𝟎=𝟏+𝟐+𝟒+𝟖+𝟏𝟔+𝟑𝟐+𝟔𝟒+𝟏𝟐𝟖+𝟐𝟓𝟔+𝟓𝟏𝟐所以：𝟐𝑺𝟏𝟎−𝑺𝟏𝟎=𝑺𝟏𝟎=𝟏𝟎𝟐𝟒−𝟏=𝟏𝟎𝟐𝟑(分)3、请大家总结一下我们刚刚所求的这个等比数列前10项和的步骤？首先将𝑺𝟏𝟎=𝟏+𝟐+𝟒+⋯+𝟓𝟏𝟐的两边都乘上这个等比数列的公比2，得到式子𝟐𝑺𝟏𝟎=𝟐+𝟒+𝟖+⋯+𝟓𝟏𝟐+𝟏𝟎𝟐𝟒，再由第二个式子减去第一个式就可以得到𝑺𝟏𝟎了。2019年12月31日星期二思考3大家可以用刚才的方法求出这30天穷人要还给富人的钱么？记𝑺𝟑𝟎=𝟏+𝟐+𝟒+⋯+𝟐𝟐𝟗……①把①式的两边都乘上公比2得：𝟐𝑺𝟑𝟎=𝟐+𝟒+𝟖+⋯+𝟐𝟐𝟗+𝟐𝟑𝟎……②由②-①得：𝟐𝑺𝟑𝟎=𝟐+𝟒+𝟖+⋯+𝟐𝟐𝟗+𝟐𝟑𝟎𝑺𝟑𝟎=𝟏+𝟐+𝟒+𝟖+⋯+𝟐𝟐𝟗所以𝑺𝟑𝟎=𝟐𝟑𝟎−𝟏=𝟏𝟎𝟕𝟑𝟕𝟒𝟏𝟖𝟐𝟑分≈𝟏𝟎𝟕𝟒(万元)2019年12月31日星期二思考41、那么从上面的例子中你能找到求首项为𝒂𝟏，公比为𝒒的等比数列{𝒂𝒏}前𝒏项和𝑺𝒏的一般方法么？请叙述这个求和的过程。在等式③：𝑺𝒏=𝒂𝟏+𝒂𝟐+𝒂𝟑+⋯+𝒂𝒏−𝟏+𝒂𝒏的两边同时乘上公比𝒒，得等式④𝒒𝑺𝒏=𝒂𝟏𝒒+𝒂𝟐𝒒+𝒂𝟑𝒒+⋯+𝒂𝒏−𝟏𝒒+𝒂𝒏𝒒=𝒂𝟐+𝒂𝟑+⋯+𝒂𝒏−𝟏+𝒂𝒏+𝒂𝒏𝒒𝒒𝑺𝒏=𝒂𝟐+𝒂𝟑+⋯+𝒂𝒏−𝟏+𝒂𝒏+𝒂𝒏𝒒−𝑺𝒏=𝒂𝟏+𝒂𝟐+𝒂𝟑+⋯+𝒂𝒏−𝟏+𝒂𝒏𝒒−𝟏𝑺𝒏=𝒂𝒏𝒒−𝒂𝟏𝑺𝒏=𝒂𝒏𝒒−𝒂𝟏𝒒−𝟏=𝒂𝟏−𝒂𝒏𝒒𝟏−𝒒……公式1则由④-③得：2019年12月31日星期二2、上面这个式子成立的条件是什么？在这个条件不成立时，等比数列{𝒂𝒏}前𝒏项和𝑺𝒏是多少？上面等式成立的条件为𝒒≠𝟏。若𝒒=𝟏时，𝑺𝒏=𝒏𝒂𝟏3、在𝒒≠𝟏时，根据等比数列的通项公式𝒂𝒏=𝒂𝟏𝒒𝒏−𝟏，代入公式可以得到什么样的结论？𝑺𝒏=𝒂𝟏(𝟏−𝒒𝒏)𝟏−𝒒……公式24、在𝒒≠𝟏时，在公式1与公式2中一共牵涉几个元素，我们只要知道其中的几个就可以求出其它的？分别用在什么情况下？2019年12月31日星期二等比数列的前𝒏项和公式等比数列{𝒂𝒏}的首项为𝒂𝟏，公比为𝒒，则其前𝒏项和𝑺𝒏：当𝒒=𝟏时，𝑺𝒏=𝒏𝒂𝟏；当𝒒≠𝟏时，𝑺𝒏=𝒂𝟏−𝒂𝒏𝒒𝟏−𝒒或𝑺𝒏=𝒂𝟏(𝟏−𝒒𝒏)𝟏−𝒒。注意1、推导方法：错位相减法。2、分类讨论：在运用等比数列的前𝒏项和公式时，一定要注意讨论公比𝒒是否为1；3、知三求二：由等比数列的通项公式及前𝒏项和公式可知，已知𝒂𝟏，𝒂𝒏，𝒒，𝒏，𝑺𝒏五个元素中任意三个，就可以建立方程组求出另外两个。4、应用情况：若已知𝒂𝟏、𝒒与𝒂𝒏，则用公式1较好；若已知𝒂𝟏、𝒒与𝒏，则用公式2比较好。2019年12月31日星期二例1、求下列等比数列的前8项的和：（1）𝟏𝟐，𝟏𝟒，𝟏𝟖，⋯；（2）𝒂𝟏=𝟐𝟕，𝒂𝟗=𝟏𝟐𝟒𝟑，𝒒𝟎。解：（1）因为𝒂𝟏=𝟏𝟐，𝒒=𝟏𝟐，所以当𝒏=𝟖时，𝑺𝟖=𝟏𝟐[𝟏−𝟏𝟐𝟖]𝟏−𝟏𝟐=𝟐𝟓𝟓𝟐𝟓𝟔。（2）由𝒂𝟏=𝟐𝟕，𝒂𝟗=𝟏𝟐𝟒𝟑，可得𝒒𝟖=𝒂𝟗𝒂𝟏=𝟏𝟐𝟒𝟑×𝟐𝟕；又由𝒒𝟎，可得𝒒=−𝟏𝟑，于是当𝒏=𝟖时，𝑺𝟖=𝟐𝟕[𝟏−𝟏𝟐𝟒𝟑×𝟐𝟕]𝟏−(−𝟏𝟑)=𝟏𝟔𝟒𝟎𝟖𝟏。2019年12月31日星期二例2、“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？解：设从塔顶开始，每层灯的个数分别为𝒂𝟏，𝒂𝟐，𝒂𝟑，⋯，𝒂𝟕，它们构成了一个公比𝒒=𝟐的等比数列，则根据题意有𝑺𝟕=𝒂𝟏𝟏−𝟐𝟕𝟏−𝟐=𝟑𝟖𝟏解得：𝒂𝟏=𝟑，则塔顶共有3盏灯。2019年12月31日星期二例3、求和：𝟏+𝒂+𝒂𝟐+𝒂𝟑+⋯+𝒂𝒏−𝟏解：记𝑺𝒏=𝟏+𝒂+𝒂𝟐+𝒂𝟑+⋯+𝒂𝒏−𝟏（1）当𝒂=𝟎时，数列{𝒂𝒏−𝟏}不是等比数列，则𝑺𝒏=𝟏；（2）当𝒂=𝟏时，数列{𝒂𝒏−𝟏}是常数列，则𝑺𝒏=𝒏；（3）当𝒂≠𝟏且𝒂≠𝟎时，数列{𝒂𝒏−𝟏}是公比不为1的等比数列，则𝑺𝒏=𝟏−𝒂𝒏𝟏−𝒂；另外（1）和（3）的结果可以综合在一起，即𝑺𝒏=𝒏(𝒂=𝟏)𝟏−𝒂𝒏𝟏−𝒂(𝒂≠𝟏).2019年12月31日星期二1、等比数列𝟏𝟐，𝟏𝟒，𝟏𝟖，⋯的前多少项和为𝟔𝟑𝟔𝟒?2、等比数列𝟏𝟐，𝟏𝟒，𝟏𝟖，⋯的第5项到第10项的和是多少？3、等比数列𝟏𝟐，𝟏𝟒，𝟏𝟖，⋯，求前𝟐𝒏项中所有偶数项的和。2019年12月31日星期二等差数列的前n项和公式推导错位相减法公式特点𝒒=𝟏的讨论知三求二公式应用课本习题2.5A组1、2、3再见!