2.3平面向量基本定理和坐标运算

ABBCACOAOBOCOAOBBAab方向模121122()()abmmenne121122()()abmmenne1112abmene问题：设e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，是这一平面内的任一向量，问：a与e1、e2之间有怎样的关系？e1e2aOBAMNC2211,eONeOM特别地：1）：2）：3）：平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2使12//0ae11//0ae120//ae2211eea12000a且说明：1、把不共线的非零向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。2、基底不唯一，关键是不共线。3、由定理可将任一向量a在给出基底的条件下进行分解。4、基底给定时，分解形式唯一。5、不共线的向量夹角表示方法12,ee12,ee2211eea向量的夹角两个非零向量a和b，作，，则叫做向量a和b的夹角．aOAbOBAOB)1800(OABabOABba若，a与b同向0OABba若，a与b反向180OABab若，a与b垂直，90ba记作之间的夹角、）求（之间的夹角、）求（的正三角形是边长为例：已知BCABACABABC216ABC60)1(之间的夹角为、ACAB解120)2(之间的夹角为、BCAB,b21DC解：DCADBABCb21abb21aANDAMDMNb21a)b21(21ab411.//2,,,,ABCDABCDABCDMNDCBAADaABbabDCBCMN例如图梯形中，，，、是，中点，，试以为基底表示aABDCNMb2.,,.ABCDMNDCBCAMcANdcdABAD例平行四边形中，、分别为、边中点，已知，试用表示和dcABDCMNba,bAD,aAM略解：设da21bcb21a)dc2(32b)cd2(32a)dc2(32AD),cd2(32AB即yxO以x轴、y轴的方向确定两个单位向量，分别记为,ij在直角坐标平面内，以原点O为起点作任意向量，则点的位置唯一确定且aOAOAxiyj(,)AxyyxA（x,y）(,)OAxy所以：每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。(,)OAxiyjxy我们把（x,y)叫做向量的坐标，其中x叫做向量在x轴上的坐标，y叫做向量在y轴上的坐标，（x,y）叫做向量的坐标表示。如：(10)i，(0,1)j0(0,0)AyjiOxxiyjaAB(,)BABAxxyyBabP100页练习3书上P101A组1题1111(,)axyxiyj2222(,)bxyxiyj1122//xyabxy书上P101A组5.6题22|||(,)|axyxya+b=(x1+x2,y1+y2)a-b=(x1-x2,y1-y2)(,)(,)BBAAaABOBOAxyxy(,)BABAxxyyλa=(λx,λy)书上P100练习1.2.5.7书上P118A组：1.2.3.6.7.8.9