高级宏观经济学之索罗增长模型

2020/1/11一国若想从最低级的野蛮状态过渡到最高程度的丰饶，所需要的仅仅是和平、轻松的税收和可以容忍的公正原则的执行，其他一切都可以从事物的自然进程中产生。——亚当.斯密2020/1/12问题提出什么因素决定了经济增长？经济增长的一般趋势是什么？为什么国家或地区之间存在着收入差异？穷国能否赶上富国？2020/1/13一、索罗模型简评几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。索罗模型的主要结论：长期人均产出惟一来源于技术进步；实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的巨大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。主要缺陷：模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，因而无法用模型解释（如技术进步）；或者当作不存在（如资本产生正的外部性）。2020/1/14以后所介绍的增长模型都有相同的一般均衡结构：家庭拥有经济中的所有投入和资产，家庭自主决策。企业雇佣投入品进行生产。家庭出售投入品，企业出售产品，形成市场。2020/1/15二、索罗模型的假设1、投入与产出索罗模型关注四个变量：产出Y、资本K、劳动L，以及知识或劳动的有效性A。生产函数：Y(t)=F(K(t),A(t)L(t))式中t表示时间。AL被称为有效劳动。以劳动力增加的形式引入的技术进步被称为劳动增加型技术进步，或者被称为哈罗德中性。2020/1/16二、索罗模型的假设1、投入与产出思考：如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中性），结果会有何不同？可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在相一致2020/1/17第一，每种投入的边际产品为正且递减。第二，规模报酬不变。F(λK,λAL)=λF(K,AL)第三，稻田条件：满足这三个条件的生产函数被称为新古典生产函数。因此，索罗增长模型又被称为新古典增长模型。00limlimlimlim0KLKLKLKLFFFF2、关于生产函数的假设2020/1/18根据规模报酬不变假设可以得到于是生产函数可以写出以下集约形式（intensiveform)：y=f(k)其中y=Y/AL单位有效劳动的产出，k=K/AL单位有效劳动的资本模型的集约形式)/()1,/(),(ALKfALALKFALALKF2020/1/19稻田条件意味着，在资本存量充分小时资本的边际产出十分大，当资本存量很大时，其会变得很小。其作用在于确保经济的路径不发散。即根据假设1得到：0)(0)(0)0(kfkff假设的含义0lim()kfklim()0kfk2020/1/110边际产出)()/(),(kfKALKALfKALKFMPK)()(),(kfkkfALALKFMPAL)]()([),(kfkkfALALKFMPL资本的边际产出有效劳动的边际产出劳动的边际产出如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k)2020/1/111曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的资本边际报酬。（假定外生不变的储蓄率s，c表示消费）kf(k)0新古典生产函数f(k)sf(k)f(k)sf(k)c图形表示2020/1/112资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。瞬时增长率的定义：dtxdxxxdtdxgxln/ntLtL)()(gtAtA)()(nteLtL)0()(gteAtA)0()()()()(tKtsYtK劳动增长率为n：技术进步率为g：t时劳动力：t时技术存量：产出在消费和投资之间分割，那么储蓄等于投资。储蓄率s为外生且不变，资本折旧率为δ。资本变化＝投资－折旧。3、生产投入的演化2020/1/113三、模型的动态学1、k的动态学在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此，我们重点分析资本的变化。单位有效劳动资本存量的变化：)()())(()(tkgntksftk每单位有效劳动的实际投资有效折旧：为保持k在现有水平所必须进行的投资。0)(tk0)(tk0)(tkk增加k下降k不变2020/1/1142、稳态稳态：如果所有变量都以某一固定不变的速度增长或者均为零增长的状况，即平衡增长（balancedgrowth):如果各主要的总量指标彼此间保持相同的比例，这样的经济增长成为平衡增长。在我们讨论的大多数增长模型中，稳定状态的路径也是平衡增长的路径。()0kt2020/1/1152、稳态单位有效劳动资本存量的变化：kf(k)f(k)sf(k)(n＋g+δ)kk*0kA索洛－斯旺模型在A点，实际投资与有效折旧相等，资本存量不变，经济达到稳态：单位有效劳动的k*,y*,c*固定不变。消费为：c*＝f(k*)-sf(k*)=f(k*)-(n+g+δ）k*)()())(()(tkgntksftk2020/1/1162、稳态稳态均衡图示因为)(gnkksf/)(k*k)(tkk*k0')(')(]/)([]/)([22kFskkkfkfsdkkkfdsdkkksfdAL2020/1/1173、稳态时的增长：平衡增长*)(*kfyALyYALYy*/*LAyYlnln*lnlngnAALLYYgnKKALkKALKk*/*在稳态，k收敛于k*，单位有效劳动的产出也不变：根据单位有效工人产出的定义可以计算出总产出的增长速度：同样方法可以计算出每个工人的产出Y/L、人均资本K/L和人均消费C/L具有相同的增长率：g。资本增长率消费C=（1-s）Y，因此，消费和产出具有相同的增长率，等于n+g。结论：索罗模型意味着，无论起点在何处，经济总会收敛于一个平衡增长路径：模型中的每个变量都以一个不变的速率增长。2020/1/1183、稳态时的增长：平衡增长当k=k*时，模型中的各个变量将如何变动？变量含义平衡增长速度备注证明绝对量K资本存量n+gk=K/ALL劳动力nA知识或技术gAL有效劳动n+gY总产出n+gF(cK,cAL)=cF(K,AL)C总消费n+gC=(1-s)Y相对量k(Y/AL)有效劳动的平均资本0K/L人均资本gy(Y/AL)有效劳动的人均产出0y=f(k)=Y/ALY/L人均产出gc(Y/AL)有效劳动的人均消费0c=(1-s)f(k)C/L人均消费gK/Y资本产出比02020/1/119四、储蓄率变化的影响下面考察政策控制变量s的变动的影响:对稳态均衡的影响；两个稳态均衡之间的动态路径；对长期增长的影响程度；对长期增长的影响持续时间。2020/1/120四、储蓄率变化的影响f(k)kf(k)s1f(k)(n+g+δ)kk1*y1*s2f(k)k2*y2*储蓄率上升意味着更多的资源用于投资，实际投资线向上移动。导致实际投资大于有效折旧，因此，k持续上升到新的稳态值（不是立即跳跃到）。kksf/)(kkfs/)(')(gnk1*k2*k1．储蓄率变化的比较静态均衡2020/1/121四、储蓄率变化的影响2．储蓄率变化的动态影响(1)对k的影响：先增加，并逐步收敛于新的更高水平。kt2020/1/122四、储蓄率变化的影响2．储蓄率变化的动态影响(2)对Y/L的影响：先暂时性的增加，但随后收敛于原来的平衡增长速度。Y/L增长率t2020/1/123四、储蓄率变化的影响(2)对Y/L的影响：先暂时性的增加，但随后收敛于原来的平衡增长速度。ln(Y/L)t结论：(1)储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响。或者说，储蓄率的变化只有水平效应，而没有增长效应。(2)只有技术进步率的变化有增长效应。(3)政策含义：投入驱动的增长不会持续。2020/1/124四、储蓄率变化的影响(3)对消费的影响在稳态，c*=f(k*)-(n+g+δ）k*当MPK=n+g+δ时，消费达到最大。使消费达到最大化的资本存量被称为资本的黄金律。f(k)kf(k)s1f(k)(n+g+δ)kk1*y1*s2f(k)k2*y2*2020/1/125黄金律和动态无效率过度储蓄的经济被称为动态无效率，因为降低储蓄率不仅提高了稳态消费，也提高了转移过程中的消费，即原来的人均消费路径在所有时点都位于另一条可行的路径之下。k0(n+g+δ)kf(k)s1f(k)k1*c1*sgf(k)kg*cg*动态无效率区域2020/1/126黄金律和动态无效率ssgoldcgoldc*纵轴表示对应于每一储蓄率的人均消费的稳态水平。使人均稳态消费最大时的储蓄率被称为黄金律储蓄率，以sgold表示。2020/1/127四、储蓄率变化的影响*)(*kfyskkfskkkfsy**)(***)(**)(1*)(*kkyssyKK*)(*)(**)(*kfkfkYKKYkkkK稳态时，人均资本和人均产出不变储蓄率变化对产出的长期影响变化得到产出的储蓄率弹性产出的资本弹性3.储蓄率变化对产出的长期影响产出的资本弹性等于资本收入在总收入中所占的份额。2020/1/128四、储蓄率变化的影响在多数国家，支付给资本的收入份额约为1/3。则产出的储蓄率弹性约为0.5。当储蓄率增加10%时，人均产出长期内仅变化5%。因此，储蓄的显著变化只会对平衡路径上的产出产生中度的影响。2020/1/129四、储蓄率变化的影响4．储蓄率变化的影响时间注意“收敛系数”与s无关。举例：假设，α=1/3，则λ=4%（表示k和y向k*和y*每年移动剩余距离的4%），因此走完平衡增长路径距离（即消除与初始收入差距）的一半约需18年时间。因此，当储蓄率增加10%时，人均产出长期内仅变化5%。第1年增长0.04(5%)=0.2%，18年后增长0.5(5%)=2.5%。结论：储蓄率变化对人均产出变化的作用较缓慢。))(1(gnK%6gn2020/1/130五、绝对收敛与条件收敛资本的边际产出递减意味着有着更低人均资本的经济趋于在人均项上更快的增长。绝对收敛：穷国有着更快的人均增长率，因此穷国趋于追上富国。条件收敛：一个经济离其自身的稳态值越远，增长越快。巴罗认为索洛模型预测了条件收敛。2020/1/131五、绝对收敛与条件收敛非稳态图示k*k增长率0增长率0))((tksf(())fkt)()(tkgn2020/1/132五、绝对收敛与条件收敛绝对收敛图示()/sfkk()ng增长率0增长率0kk*这表明k离k*越远，其增长率（正或负）越大，λk0。可以证明索洛模型中的其他变量X的非均衡动态增长率（λX）与λk保持比例或线形关系，例如/'()/()['()/()]ykKkyyfkkfkkfkfkgnkK结论（索洛模型的收敛性）：每个经济都收敛于其自身的稳态，而且这一收敛的速度与其离稳态的距离成反比，或者说，经济离其自身的稳态值越远，其增长率就越快。2020/1/133五、绝对收敛与条件收敛条件收敛的图示：结论：当穷国人均初始资本存量较小，而富国的储蓄率较高时，富国会比穷国有更高的增长率。因此，一旦控制了稳态的决定的情况下，条件收敛将成立。kkfspoor/)(kkfsrich/)()(gnk(0)poork(0)richk*poork*rich2020/1/134五、绝对收敛与条件收敛每单位效率工人资本变化：*()()(*)(*)()*(0)*(1)()kkkktksfkxnkkkkkkktkkkexn围绕k*的一阶泰勒展开式：上式的解析解意味着k与稳态值k*之间的距离以λ的速度减少。收敛速度：2020/1/135五、绝对收敛与条件收敛在稳态的邻域内，产出和资本具有相同的增长速度。可以证