数学建模作业

1数学建模作业姓名：李成靖学号：1408030311班级：计科1403班日期：2015.12.3021.某班准备从5名游泳队员中选4人组成接力队，参加学校的4×100m混合泳接力比赛，5名队员4种泳姿的百米平均成绩如下表所示，问应如何选拔队员组成接力队？如果最近队员丁的蛙泳成绩有较大的退步，只有1′152；而队员戊经过艰苦训练自由泳成绩有所进步，达到575，组成接力队的方案是否应该调整？名队员4种泳姿的百米平均成绩解:(1).设cij(秒)为队员i第j种泳姿的百米成绩，转化为0—1规划模型若参选择队员i加泳姿j的比赛，记xij=1,否则记xij=0目标函数:即min=66.8*x11+75.6*x12+87*x13+58.6*x14+57.2*x21+66*x22+66.4*x23+53*x24+78*x31+67.8*x32+84.6*x33+59.4*x34+70*x41+74.2*x42+69.6*x43+57.2*x44+67.4*x51+71*x52+83.8*x53+62.4*x54;约束条件:x11+x12+x13+x14=1;x21+x22+x23+x24=1;x31+x32+x33+x34=1;x41+x42+x43+x44=1;x51+x52+x53+x54=1;x11+x21+x31+x41+x51=1;x12+x22+x32+x42+x52=1;x13+x23+x33+x43+x53=1;x14+x24+x34+x44+x54=1;甲乙丙丁戊蝶泳1′0685721′181′101′074仰泳1′1561′061′0781′1421′11蛙泳1′271′0641′2461′0961′238自由泳586535945721′0244151jiijijxcZMin3lingo模型程序和运行结果因此，最优解为x14=1,x21=1,x32=1,x43=1,其余变量为0成绩为253.2(秒)=4′132即：甲~自由泳、乙~蝶泳、丙~仰泳、丁~蛙泳.4(2).若丁的蛙泳成绩退步为1′152=75.2(秒)，戊的自由泳成绩进步为575=57.5(秒)，则目标函数：min=66.8*x11+75.6*x12+87*x13+58.6*x14+57.2*x21+66*x22+66.4*x23+53*x24+78*x31+67.8*x32+84.6*x33+59.4*x34+70*x41+74.2*x42+75.2*x43+57.2*x44+67.4*x51+71*x52+83.8*x53+57.5*x54;约束条件：x11+x12+x13+x14=1;x21+x22+x23+x24=1;x31+x32+x33+x34=1;x41+x42+x43+x44=1;x51+x52+x53+x54=1;x11+x21+x31+x41+x51=1;x12+x22+x32+x42+x52=1;x13+x23+x33+x43+x53=1;x14+x24+x34+x44+x54=1lingo模型程序和运行结果5因此，最优解为x21=1,x32=1,x43=1,x54=1,其余变量为0;成绩为257.7(秒)=4′177,新方案:乙~蝶泳、丙~仰泳、丁~蛙泳、戊~自由泳。2.某工厂用A1，A2两台机床加工B1，B2，B3三种不同零件，已知在一个生产周期内A1只能工作80机时，A2只能工作100机时。一个生产周期内加工B1为70件，B2为50件，B3为20件。两台机床加工每个零件的时间和加工每个零件的成本，分别如下所示加工每个零件时间表（单位:机时/个）机床零件B1B2B3A1123A2113加工每个零件成本表(单位：元/个)机床零件B1B2B3A1235A2336问怎样安排两台车床一个周期的加工任务，才能使加工成本最低？解：设在A1机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为x1、x2、x3，在A2机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为x4、x5、x6,可建立以下线性规划模型：目标函数：min=2*x1+3*x2+5*x3+3*x4+3*x5+6*x6约束条件：x1,x2,x3,x4,x5,x6均为整数6x1+2*x2+3*x3=80x1+x2+3*x3=100x1+x4=70x2+x5=50x3+x6=20lingo模型程序和运行结果最优解为x1=70,x2=0,x3=3,x4=0,x5=50,x6=17;最低成本价为407元。即：在A1机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为70、0、3，在7A2机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为0、50、17。3.某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益(%)A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资?（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作?（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变?若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变?解：设投资证劵A、证劵B、证劵C、证劵D、证劵E的金额分别为：X1、X2、X3、X4、X5（百万元），投资之后获得的总收益为Y百万元。(1).建立如下的线性规划模型：目标函数：maxY=0.043*X1+(0.054*0.5)*X2+(0.05*0.5)*X3+(0.044*0.5)*X4+0.045*X5约束条件:X2+X3+X4=4X1+X2+X3+X4+X5=10(2*X1+2*X2+X3+X4+5*X5)/(X1+X2+X3+X4+X5)=1.4(9*X1+15*X2+4*X3+3*X4+2*X5)/(X1+X2+X3+X4+X5)=5整理化简可得：MaxY=0.043*X1+0.027*X2+0.025*X3+0.022*X4+0.045*X5；X2+X3+X4=4；X1+X2+X3+X4+X5=10；6*X1+6*X2-4*X3-X4+36*X5=0；4*X1+10*X2-X3-2*X4-3*X5=0；lingo模型程序和运行结果8因此，最优解为Y=0.298，X1=2.182，X3=7.364，X5=0.454最优解方案不投资证劵B和证劵D，投资证劵A为218.2万元，投资证劵C为736.4万元，投资证劵E为45.4万元;总收益为29.8万元。（2）.由问题（1）得:投资金额每增加100万元，收益可增加2.98万元，而借贷100万元所要支付的利息是2.75万元，比2.98万元少，因此应该借贷这100万元去投资。目标函数仍为：MaxY=0.043*X1+0.027*X2+0.025*X3+0.022*X4+0.045*X5；X2+X3+X4=4；X1+X2+X3+X4+X5=11；6*X1+6*X2-4*X3-X4+36*X5=0；4*X1+10*X2-X3-2*X4-3*X5=0；lingo模型程序和运行结果9因此，最优解为:X1=2.40,X3=8.10,X5=0.50,Y=0.328;即应投资证劵A240万元，证劵C810万元，证劵E50万元。此时收益总额为32.8万元，再减去所要支付的利息2.75万元，还剩30.05万元，比问题(1)中的收益总额29.8万元还要多，这也证明了借贷100万元来投资是明智的。（3).问题(1)的灵敏度分析可得下图：10则在最优解不变的条件下目标函数系数允许的变化范围：X1的系数为（0.043-0.013，0.043+0.0035），即（0.030，0.0465）；X3的系数为（0.025-0.0006，0.025+0.017），即（0.02494，0.042）；当证劵A的税前收益增加为4.5%时，其在目标函数中的系数为0.045，在最优解不变的条件下目标函数系数允许的变化范围内，因此投资方案不应该改变。当证劵C的税前收益减少为4.8%时，其在目标函数中的系数为0.024，不在最优解不变的条件下目标函数系数允许的变化范围内，因此只有改变投资方案，才能使银行经理获得最大收益值。4.某医院负责人每日至少需要下表数量的护士。班次时间最少护士16时—10时60210时—14时70314时—18时60418时—22时50522时—02时20602时—06时30每班的护士在值班开始时向病房报到，连续工作8小时，医院领导为满足每班所需要的护士数，最少需要用多少护士？解：设在i班刚加入工作的人数分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6；目标函数为：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;约束条件：x1,x2,x3,x4,x5,x6均为整数x1+x2=70x2+x3=60x3+x4=50x4+x5=20x5+x6=30x6+x1=6011lingo模型程序和运行结果因此，最优解为：x1=60、x2=10、x3=50、x4=0、x5=30、x6=0；最少需要护士150人。5．某海岛上有12个主要的居民点，每个居民点的位置（用平面坐标x,y表示，距离单位：km）和居住的人数R如表下表所示，现在准备在岛上建一个服务中心为居民提供各种服务，那么服务中心应该建在何处？12解：设第i个居民点的位置（xi，xj），居住的人数为Ri，i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12;设服务中心的位置为（a，b）,无约束条件；服务中心应该让所有的人都方便，因此目标函数为min=∑Ri12i=1√(xi−a)2+(xj−b)2lingo模型程序和运行结果居民点123456789101112x08.200.505.700.772.874.432.580.729.763.195.55y00.504.905.006.498.763.269.329.963.167.207.88R60010008001400120070060080010001200100011001314因此，服务中心应该建的位置是（3.19，3.20）第十一个小岛。6.某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台。每季度的生产费用为2bxaxxf(元)，其中x是该季生产的发动机台数，若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c元。已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始无存货，设a=50，b=0.2，c=4，问工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同有使总费用最低？讨论a、b、c、变化对计划的影响，并作出合理的解释。解：(1).设工厂第一季度生产x1台发动机，第二季度生产x2台发动机，第三季度生产x3台发动机。目标函数：min=50*x1+0.2*x1^2+50*x2+0.2*x2^2+50*x3+0.2*x3^2+4*(x1-40)+4*(x1+x2-100);约束条件：x1,x2,x3均为整数x1=100;x2=100;x3=100;x1=40;x1+x2=100;x1+x2+x3=180;lingo模型程序和运行结果15因此，最优解为：x1=50,x2=60,x3=70;即：工厂第一季度生产50台发动机，第二季度生产60台发动机，第三季度生产70台发动机。可使总费用最低，总费用为11280.00元。7.广告费用与效应。某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆。一般来说，随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算，见下表。手机与预期销售量售价（元）预期销售量（桶）售价（元）预期销售量（桶）2.00410002.50380003.00340003.50320004.00290004.5028