常微分方程试题及答案

1常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是2维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21xyxy为方程的基本解组充分必要条件是．3．方程02yyy的基本解组是．4．一个不可延展解的存在在区间一定是区间．5．方程21ddyxy的常数解是．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．方程yxxy31dd满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）．（A）上半平面（B）xoy平面（C）下半平面（D）除y轴外的全平面7.方程1ddyxy（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个8．)(yf连续可微是保证方程)(ddyfxy解存在且唯一的（）条件．（A）必要（B）充分（C）充分必要（D）必要非充分9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（）．（A）构成一个2维线性空间（B）构成一个3维线性空间（C）不能构成一个线性空间（D）构成一个无限维线性空间10．方程323ddyxy过点(0,0)有（B）．(A)无数个解(B)只有一个解(C)只有两个解(D)只有三个解三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分：11.yyxylndd12.xyxyxy2)(1dd13.5ddxyyxy14．0)d(d222yyxxxy15．3)(2yyxy四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程255xyy的通解．17．求下列方程组的通解．xtytytxddsin1dd五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．设)(xf在),0[上连续，且0)(limxfx，求证：方程2)(ddxfyxy的一切解)(xy，均有0)(limxyx．19．在方程0)()(yxqyxpy中，)(),(xqxp在),(上连续，求证：若)(xp恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(xW是),(上的严格单调函数．常微分方程模拟试题参考答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．22．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3．xxxe,e4．开5．1y二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．D7．C8．B9．C10．A三、计算题（每小题６分，本题共30分）11．解：1y为常数解（1分）当0y，1y时，分离变量取不定积分，得Cxyyydlnd（3分）通积分为xCyeln（6分）注：1y包含在常数解中，当0c时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。13．解：方程两端同乘以5y，得xyxyy45dd（1分）令zy4，则xzxyydddd45，代入上式，得xzxzdd41（3分）这是一阶线形微分方程，对应一阶线形齐次方程的通解为4xzce（4分）利用常数变易法可得到一阶线形微分方程的通解为41e4xCzx（5分）因此原方程通解为41e44xCyx（6分）14．解：因为xNxyM2，所以原方程是全微分方程．（2分）取)0,0(),(00yx，原方程的通积分为Cyyxxyyx020dd2（4分）计算得Cyyx3231（6分）15．解：原方程是克莱洛方程，通解为332CCxy（6分）四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．解：对应齐次方程的特征方程为052，（1分）特征根为01，52，（2分）齐次方程的通解为xCCy521e（4分）因为0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为)()(21CBxAxxxy（6分）代入原方程，比较系数确定出31A，51B，252C（9分）原方程的通解为xxxCCyx2525131e23521（10分）17．解：齐次方程的特征方程为21101（1分）特征根为i（2分）求得特征向量为1i（3分）因此齐次方程的通解为ttCttCyxcossinsin-cos21（4分）令非齐次方程特解为tttCtttCyxcossin)(sin-cos)(~~21（5分）)(),(21tCtC满足0sin1)()(cossinsincos21ttCtCtttt（6分）解得1)(,sincos)(21tCtttC（8分）积分，得ttCsinln)(1，ttC)(2（9分）通解为ttttttttttCttCyxcossinlnsin-sinsinlncoscossinsin-cos21（10分）五、证明题（每小题10分，本题共20分）418．证明：设)(xyy是方程任一解，满足00)(yxy，该解的表达式为0000ede)(e)()(0xxxxxsxxssfyxy（4分）取极限0000ede)(limelim)(lim)(0xxxxxsxxxxxssfyxy=000000de)(,0ee)(limde)(,00)()()(xxsxxxxxxxsssfxfssf若若（10分）19．证明：设)(1xy，)(2xy是方程的基本解组，则对任意),(x，它们朗斯基行列式在),(上有定义，且0)(xW．又由刘维尔公式x0d)(0e)()(xsspxWxW，),(0x（5分）)(e)()(x0d)(0xpxWxWxssp由于0)(0xW，0)(xp，于是对一切),(x，有0)(xW或0)(xW故)(xW是),(上的严格单调函数．（10分）