新课标-人教版-初二几何相似形同步练习

学而思教育·学习改变命运思考成就未来！中考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来！中考网初二数学同步辅导教材【几何进度】几何第二册第五章小结与复习（P251~259）【教学内容】相似形小结与复习【重点难点剖析】一．本章知识系统比例的基本性质如果dcba，那么ad=bc，反之，也成立。合比性质见课本P204等比性质见课本P205比例线段——黄金分割见课本P208平行线分线段成比例定理见课本P212三角形一边平行线的性质定平行线分线段成比例定理的推论（见课本P214）和P218例6三角形一边的平行线的判定定理见课本P216定义见课本P225（1）定义法（2）平行法即课本P227定理（3）判定定理即课本P228、P230的三个判定定理（4）直角三角形的相似判定，见课本P233定理性质见课本P241、P242定理二．重点剖析1．寻找相似三角形的方法一般是“找”或“构”，“找”时一般要利用特征图形（如有公共角的两个三角形），“构”时，一般要通过作平行线等辅助线来建构，另外还可通过“过渡比”来实现两个比相等。2．特别提醒的是：“没有两边对应成比例，且一边的对角对应相等的两个三角形相似”的判定方法。【典型例题】例1已知5fedcba求fdbeca7272的值分析将已知条件转化为a=5b，c=5d，e=5f代入分子，即可求出值解：∵5fedcba∴a=5b，c=5d，e=5f，代入得572355107272fdbfbbfdbeca点评本题也可用等比性质，由已知可得57722fedcba比例性质1．比例线段判定相似三角形学而思教育·学习改变命运思考成就未来！中考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来！中考网fdbeca例2解方程114324322222xxxxxxxx分析应用比例性质，化简，再解解应用合比性质原方程化为22286422xxxx即143222xxxx解得x1=0612x经检验61,021xx都是原方程的根。例2如图1；AE=AF求证BFCEDBCD分析题中没有“平行线”，我们通过添加平行线，以便应用平行线截线段成比例的定理，来证BFCEDBCD证作CM//AB交DF于M则CD：DB=CM：BF，∠AFD=∠FMC由于AF=AE∴∠AFE=∠AEF又∠AEF=∠CED∴∠DEC=∠CME故EC=EM∴CD：DB=CE：BF点评本题添加平行线的方法，还可以有以下几种，如作CN//DF交AB于N或作BQ//AC交DF延长线于Q或作BH//FD交AC延长线等于H等，同学们可以作为练习自己来完成，以总结这类问题添加辅助助平行线的规律。例3如图2已知：AB=AC，延长AB到E，使BE=AB，D为AB中点，求证CE=2CD分析本题证法很多，可用三角形中位线或全等三角形，或平行四边形来证，但如果用相似三角形的判定定理就能直接证得；在△ADC和△ACE中，21,21AEACACAD，∠A=∠A，即得△ADC∽△ACE，则21ACADCEDCCEDC21即CE=2DC证：略例4如图3已知：AD是Rt△ABC斜边BC上的高，∠ABD平分线交AD于M，AC于P，∠DAC平分线交CD于N求证MN//AC分析欲证MN//AC，只要证DM：MA=DN：NCBCBDMABMSS:和ANDACNSS:，可得AM：MD=AB：BD，NC：ND=AC：AD又Rt△ADB∽Rt△CDA，可得DB：AB=AD；AC，从而可推出结论。ABCDEFM图1ABCDE图2图3APDNM学而思教育·学习改变命运思考成就未来！中考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来！中考网证∵MDAMSSBDMABM::∵AD⊥BC，BM为∠ABD的平分线，∴△ABM中AB上的高与MD相等∴BDABSSBDMABM::∴AM：MD=AB：BD由AD⊥BCAN为∠DAC的平分线，同理可得NC：ND=AC：AD又AD⊥BCAB⊥AC∴∠ABD=∠DAC∴△ADB∽△CDA于是BD：AB=AD：AC∴DM：MA=DN：NC故MN//AC点评：本题还可以证得∠MNA=∠NAM，推出MN//AC（提示：由已知先证AM=AP，从而推出AN⊥BP，进而可推得AB=BN，△ABM≌△BNM，从而得AM=MN，即∠ANM=∠MAN，∴∠PAN=∠ANM）读者可作为练习试一试。例5如图4已知梯形ABCD，AD//BC，对角线AC、BD交于E2pSADE，2qSBCE，求S梯形ABCD分析S梯形ABCD=S△AED+S△BEC+S△AEB+S△DEC故只要求S△AEB和S△DEC即可解∵AD∥BC∴△AED∽△CEB∴22ECAESSCEBAEDqpECAE又△AEB和△BEC的底边AE和EC上的高相同qpECAESSBECAEB那么pqqqpSAEB2同理可得pqSDECS梯形ABCD=S△AED+S△BEC+S△ABE+S△DEC=p2+q2+pq+pq=(p+q)2例6已知如图5在△ABC中，∠BAC=900AD⊥BC于D，P为AD中点，BP延长线交AC于E，EF⊥BC于F，求证EF2=AE·EC分析要证EF2=AE·EC，可证它们所确定的三角形相似，EF、CE确定Rt△CEF而EF、AE没有确定哪个直角三角形，为此可构造一个包含EF、AE（或和它们相等的线段）且能与Rt△CEF相似的直角三角形，由P为AD中点，AD∥EF，可延长FE、BA交于点N，有EF=EN，且△AEN∽△FEC证明延长FE交BA的延长线于N∵AD⊥BCEF⊥BC∴AD∥EF∠EFC=900∴EFPDBEBPNEAP又∵AP=PD∴NE=EF∴∠EFC=∠NAE=900∠AEN=∠FEC∴△ANC∽△FCE∴CENEEFAECEAENEEF又∵EF=NE∴EF2=CEAEABCDENFABCDE图5学而思教育·学习改变命运思考成就未来！中考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来！中考网【练习与测试】1．若线段722,722,31cba，则a、b、c的第四比例项x=线段bc和9a的比例中项y=2．在直角三角形ABC中，斜边AB上的高为CD，AB=12，AD:BD=3:1则CD=AC=3．如图，在四边形ABCD中，E是对角线BD上一点，EF∥AD，EM∥BC，则BCEMADEF4．如图，在△ABC中，D、F分别在（第3题）BC、AC上，AD、BF交于点E，且（第4题）BD:DC=3:2，AE=ED，则BE:EF=5．如图，D是AC上的中点，E、F分别是BC的三等分点，则BG:GH:HD6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，过对角线交点O作MN∥BC，交BC于M，交DC于N，若AD=x，BC=y，则MN的长度为7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F是AD上的点，且AE=EF，BE、CF延长后交于点G，AC交BG于点H，求证HBEGHEBH8．如图，△ABC中，（第7题）∠C=900，E是AC上的点，BC=CD=DE=EA，（第8题）求证：∠A=∠DBE9．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF的延长线分别交过C点的直线于G、H，若∠BAE=∠DAF=150，（第9题）CGAEEGAC求证：△AGH是等边三角形10．如图，在△ABC中，∠B=∠ADE=∠CAD，AC:BC=1:2，设△EBD，△ADC、△ABC的周长依次为m1、m2、m3，求证：45321mmm（第10题）ABCDEFMCDEABFHABCDGEFADCBMN0（第6题）ABCDEFGHABCDEABCDEHABCDEFG（第5题）（第6题）P学而思教育·学习改变命运思考成就未来！中考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来！中考网【练习与测试参考答案或提示】1．3，3；2．33，36；3．1；4．4:1；5．5:3:26．yxxy27．由AD∥BC，得EGBGEFBCAEBCHEHBEGHBHEBG；8．设BC=a，则CD=DE=AE=a，aBD2，AD=2a，AC=3aAB=a102BDADDEBD，又∠BDE=∠ADB，ADB∽BDE，DBEA；9．过G作GM∥BC交AC延长线于M，则EGAECMAC，又CGAEEGAC∴CM=CG∴∠CMG=∠CGM=450∴AC⊥CG∴∠AGH=600，同理∠H=600命题成立；10．由∠CAD=∠ADE，得AC∥DE，ABC∽EBD，又∠B=∠CAD，∠C=∠C，∴△ABC∽△DAC∴△ABC∽△EBD∽△DAC，即△EBD∽△DAC∽△ABC，再利用相似三角形的周长比等于相似比即可证出。