无穷级数知识点介绍整理人王浩

专转本专题知识点----------无穷级数数项级数定义1设给定一个数列,...,,...,,,321nuuuu则和式......321nuuuu（11.1）称为数项级数，简称为级数，简记为1nnu,即1nnu=......321nuuuu其中，第n项nu称为级数的一般项或者通项。式（11.1）的前n项和nkknnuuuuuS1321...称为式（11.1）的前n项部分和。当n依次取1，2，3，...时，部分和...,..,,,321nSSSS构成一个新的数列nS，数列nS也称为部分和数列定义2若级数1nnu的部分和数列nS有极限SSSnnlim，则称级数1nnu收敛，称S是级数1nnu的和，即......3211nnnuuuuuS如果部分和数列nS没有极限，则称为级数1nnu发散数项级数的性质（1）若级数1nnu和级数1nnv都收敛，它们的和分别为S和，则级数1)(nnnvu也收敛，且其和为S（2）若级数1nnu收敛，且其和为S，则它的每一项都乘以一个不为零的常数k,所得到的级数1nnku也收敛，且其和为kS（3）在一个级数前面加上（或去掉）有限项，级数的敛散性不变（4）若级数1nnu收敛，则将这个级数的项任意加括号后，所成的级数...)...(...)...()...(1211121kknnnnnuuuuuuu也收敛，且与原级数有相同的和（5）（级数收敛的必要条件）若级数1nnu收敛，则0limnnu综上所述，几何级数11nnaq的敛散性，发散。。。。。。收敛，其和为1q-1a,1qq调和级数11nn的敛散性发散数项级数的敛散性研究对象：正项级数、交错级数、任意项级数一．正项级数正项级数：若级数1nnu=......321nuuuu满足条件,...)3,2,1(0nun，则称此级数为正项级数定理1正项级数收敛的充要条件是其部分和数列nS有界定理2（比较判别法）若级数1nnu和级数1nnv为两个正项级数，且,...)3,2,1(nvunn，那么：（1）若级数1nnv收敛时，级数1nnu也收敛（2）若级数1nnu发散时，级数1nnv也发散那么1npn1级数p的敛散性是，收敛发散1,1pp定理3（达朗贝尔比值判别法）若正项级数1nnu（,...3,2,1,0nun）满足条件luunnn1lim则（1）当1l时，级数收敛（2）当1l时，级数发撒（3）当1l时，无法判断此级数的敛散性二．交错级数级数1)1(nnnu（,...3,2,1,0nun）称为交错级数定理4（莱布尼兹判别法）若交错级数1)1(nnnu（,...3,2,1,0nun）满足下列条件（1）1nnuu（2）0limnnu则交错级数1)1(nnnu收敛，其和,1uS其余项的绝对值1nnur三．绝对收敛和条件收敛若级数1)1(nnnu的各项为任意实数，则称级数1nnu为任意项级数定义如果任意项级数1nnu的各项绝对值组成的级数1nnu收敛，则称级数1nnu绝对收敛；如果1nnu发散，而1nnu收敛，则称级数1nnu条件收敛定理5如果级数1nnu绝对收敛，则级数1nnu必收敛定理6如果任意项级数1nnu满足条件luunnn1lim（1）当1l时，级数绝对收敛（2）当1l时，级数发撒幂级数定义1如果,...)3,2,1)((nxu是定义在某个区间I上的函数，则称函数...)(...)()()(211xuxuxuxunnn（11.4）为区间I上的函数项级数定义2形如...)(...)()()(020201010nnnnnxxaxxaxxaaxxa（11.5）的级数称为)(0xx的幂级数，其中,...,...,,,210naaaa均为常数，称为幂级数的系数。当00x时，级数12210......nnnnnxaxaxaaxa（11.6）称为x的幂级数定义3对于形如式（11.6）的幂级数若设laannn1lim，则xlxaaxaxauunnnnnnnnnnn1111limlimlim根据任意项级数判别法可知：（1）当0l时，若1xl，即Rlx1，式（11.6）绝对收敛若1xl，即Rlx1，式（11.6）发散若1xl，即Rlx1，则比值判别法失效，式（11.6）可能收敛也可能发散（2）当0l，由于10xl，式（11.6）对任何x都收敛称lR1为幂级数式（11.6）的收敛半径定理1如果幂级数12210......nnnnnxaxaxaaxa的系数满足条件laannn1lim，则（1）当l0时，lR1（2）当0l时，R（3）当l时，0R幂级数的性质设幂级数0nnnxa与0nnnxb的收敛半径分别是1R与2R（1R与2R均不为0），它们的和函数分别为)(1xS与)(2xS1.（加法与减法运算）)()()(21000xSxSxbaxbxannnnnnnnnn所得的幂级数0)(nnnnxba仍收敛，且收敛半径是1R与2R中较小的一个2.（乘法运算）)()(...)...(...)()()()(210110202112001100000xSxSxbababaxbababaxbababaxbxannnnnnnnnn两幂级数相乘所得的幂级数仍收敛，且收敛半径是1R与2R中较小的一个3.（微分运算）若幂级数0nnnxa的收敛半径R，则在（-R,R）内和函数S(x)可导，且有0100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxS且求导后所得的幂级数的收敛半径仍为R4.（积分运算）若幂级数0nnnxa的收敛半径R，则和函数S(x)在该区间内可积，且有00010001)()(nxnnnnnxxnnnxnadxxadxxadxxS且求导后所得的幂级数仍收敛，且收敛半径仍为R函数展成幂级数1.泰勒级数设)(xf在0xx处任意阶可导，则幂级数nnnxxnxf)(!)(010)(称为)(xf在0xx处的泰勒级数2.麦克劳林公式当00x时，级数nnnxnf0)(!)0(称为)(xf的麦克劳林级数3.几个常见的麦克劳林展开式①)1,1(,110xxxnn②)1,1(,)1(110xxxnnn③),(,!0xnxennx④),(,)!12()1(sin012xnxxnnn⑤),(,)!2()1(cos02xnxxnnn⑥)1,1(,)1()1ln(11xnxxnnn⑦0)1,1(,!)1)...(1()1(nnxxnnx