普通物理学教程力学课后答案高等教育第六章万有引力定律

第6章万有引力定律第六章万有引力定律习题解答6.1.1设某行星绕中心天体以公转周期T沿圆轨道运行，试用开普勒第三定律证明：一个物体由此轨道自静止而自由下落至中心天体所需的时间为2Tt证明：物体自由下落的加速度就是在行星上绕中心天体公转的向心加速度：2222/41)2(TRRTRRva由自由落体公式：2221/2,TaRtatR（此题原来答案是：24Tt，这里的更正与解答仅供参考）6.2.1土星质量为5.7×1026kg，太阳质量为2.0×1030kg，两者的平均距离是1.4×1012m.⑴太阳对土星的引力有多大？⑵设土星沿圆轨道运行，求它的轨道速度。解：⑴据万有引力定律，太阳与土星之间的引力f=GMm/r2=6.51×10-11×2.0×1030×5.7×1026/(1.4×1012)2≈3.8×1022N⑵选择日心恒星参考系，对土星应用牛顿第二定律：f=mv2/rsmmfrv/107.9107.5/04.1108.3/32612226.2.3⑴一个球形物体以角速度ω转动，如果仅有引力阻碍球的离心分解，此物体的最小密度是多少？由此估算巨蟹座中转数为每秒30转的脉冲星的最小密度。这脉冲星是我国在1054年就观察到的超新星爆的结果。⑵如果脉冲星的质量与太阳的质量相当（≈2×1030kg或3×105Me，Me为地球质量），此脉冲星的最大可能半径是多少？⑶若脉冲星的密度与核物质相当，它的半径是多少？核密度约为1.2×1017kg/m3.解：⑴设此球体半径为R,质量为m.考虑球体赤道上的质元Δm,它所受到的离心惯性力最大f*=Δmω2R，若不被分解，它所受到的引力至少等于离心惯性力,即GmΔm/R2=Δmω2R∴m=ω2R3/G，而m=4πR3ρ/3，代如上式，可求得，G432脉冲星的最小密度3141051.64)230(3/103.1112mkg⑵据密度公式，m=ρV=4πR3ρ/3,∴R3=3m/(4πρ)kmR231430105.1)103.114.34/(1023⑶kmR16)102.114.34/(1023317306.2.4距银河系中心约25000光年的太阳约以170000000年的周期在一圆周上运动。地球距太阳8光分。设太阳受到的引力近似为银河系质量集中在其中心对太阳的引力。试求以太阳质量为单位银河系的质量。第6章万有引力定律解：设银河系、太阳、地球的质量分别为M、m、m'；太阳距银河系中心的距离为r=2.5×104光年=2.5×104×365×24×60光分=1.31×106光分，绕银河系中心公转角速度为ω=10-8×2π/1.7年；地球距太阳的距离为r'=8光分，绕太阳公转角速度为ω'=2π/年分别对地球和太阳应用万有引力定律和牛顿第二定律：Gmm'/r'2=m'ω'2r'（1）GMm/r2=mω2r(2)由（1）可得G=ω'2r'3/m，代入（2）中，可求得mmmMrr11381031.12107.113'2'1053.1)()()()(686.2.5某彗星围绕太阳运动，远日点的速度为10km/s，近日点的速度为80km/s。若地球在半径为1.5×108km圆周轨道上绕日运动，速度为30km/s。求此彗星的远日点距离。解：角动量守恒bmvamv21⑴能量守恒bmMamMGmvGmv22212121⑵牛二定律RvRmMmG22''⑶⑴,⑵,⑶联立，解得a=3×108km6.2.6一匀质细杆长L，质量为M.求距其一端为d处单位质量质点受到的引力（亦称引力场强度）。解：选图示坐标0-x,单位质量质点在坐标原点处，在杆上取质元dm=dxM/L,其坐标为x,它对原点处质点的引力为：221xdxLGMxdmGdf,由于各质元对质点的引力方向均沿x轴正向，∴杆对质点的引力方向沿x轴正向，大小为)(1112)(|LddGMLddLGMdLdxLGMLddLGMdxxf6.2.7半径为R的细半圆环线密度为λ，求位于圆心处单位质量质点受到的引力（引力场强度）解：由对称性分析可知，引力场强度的x分量等于零。质元dm=λRdθ所受引力的y分量为dRGRdmGdfysinsin12RGRGdRGfy/2|cossin006.3.1考虑一转动的球形行星，赤道上各点的速度为V，赤道上的加速度是极点上的一半，求此行星极点处的粒子的逃逸速度。解：设行星半径为R，质量为M，粒子m在极点处脱离行星所需的速度为v，在无穷远处的速度、引力势能为零，由机械能守恒定律有0221RmMGmv即RGMv/22⑴第6章万有引力定律以球形行星为参考系（匀速转动参考系），设粒子m在赤道上和极点上的加速度分别为a1和a2。粒子m在赤道上除受引力作用外还受离心惯性力作用，由牛二定律有212122RaRVGMmaRVmRMmG即⑵粒子m在极点上只受引力作用，由牛二定律有2222RaGMmaRMmG即⑶已知122aa⑷由⑵、⑶、⑷可求得22/VRGM代入⑴中，得VvVv24226.3.2已知地球表面的重力加速度为9.8ms-2，围绕地球的大圆周长为4×107m，月球与地球的直径及质量之比分别是.0123.0/27.0/ememMMDD和试计算从月球表面逃离月球引力场所必需的最小速度。解：设质点m脱离月球的速度为v，在距月球无穷远处的速度、引力势能为零，由机械能守恒定律，有mmmmRGMvRmMGmv/202122⑴将Mm=0.0123Me，Rm=0.27Re代入⑴中，有eeRGMv/091.02⑵由牛二定律gRRGMmgRmGMeeeee/,/2代入⑵中，有gRve091.02)(38.22/1048.9091.017msv